3.2. Поводження гіроскопа напрямку на рухомій основі

3.2.1 Мета роботи

Шляхом експериментальних досліджень на програмній моделі вивчити вплив тертя на рух триступеневого астатичного гіроскопа, вплив моменту горизонтальної корекції на рух гіроскопа напрямку і порівняти з висновками теоретичного аналізу.

3.2.2 Теоретична частина

Гіроскоп напрямку являє собою триступеневий гіроскоп у кардановому підвісі, в якому застосовані системи горизонтальної і азимутальної корекції задля підвищення його точності і працездатності. Схема його конструкції наведена на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Схема гіроскопа напрямку

Кінематика відносних поворотів гіроскопа у кардановому підвісі (у подальшому – ГКП) наведена на рис. 2.2. Тут – кут повороту зовнішньої рамки відносно основи, – кут повороту внутрішньої рамки відносно зовнішньої, -– зовнішня вісь підвісу, – внутрішня вісь підвісу, – головна вісь гіроскопа.

Для теоретичного аналізу поводження ГКП на рухомій основі зручно використовувати так звані опорні кутові координати гіроскопа, які задають положення головної осі безпосередньо в опорній системі координат (наприклад, географічній). Кінематика гіроскопа в опорній системі координат наведена на рис. 2.3.

Через те, що рух основи, через її значну інерційність, здійснюється з частотами, набагато меншими за частоту власних (нутаційних) коливань гіроскопа, вплив моментів, виникаючих внаслідок кутового руху основи, можна вивчати по прецесійних рівняннях.

Рис. 3.6. Кінематика відносних поворотів

Рис. 3.7. Кінематика гіроскопа в опорній системі координат

Прецесійні рівняння ГКП у відносних кутових координатах мають вигляд:

. (3.27)

Прецесійні рівняння ГКП в опорних кутових координатах мають вигляд:

;

;

. (3.28)

3.2.2.1. Гкп на обертовій основі під впливом моментів сил тертя

Будемо припускати, що основа обертається в інерціальному просторі з незмінною як за значенням, так і за напрямком кутовою швидкістю , опорна система координат нерухома ( ) і в початковий момент часу зв'язана з основою і опорна ( ) системи збігаються. Тоді

; . (3.29)

Задамо кутовими координатами и положення вектора кутової швидкості основи в інерціальному просторі (системі ), рис. 2.4.

Рис. 3.8. Кінематика ГКП на обертовій основі

Те саме кутове положення буде займати вектор й щодо зв’язаної системи . Більше того, через сталість напрямку цього вектора в просторі, він буде нерухомий й у системі координат , яка обертається з цією кутовою швидкістю, тобто й є постійними кутовими координатами положення вектора й у зв’язаній системі.

Спочатку розглянемо випадок, коли гіроскоп не піддається зовнішнім збурюванням по осях підвісу Тоді, враховуючи (3.29), прецесійні рівняння (3.28) в "абсолютних" координатах й приводять до рівностей

фізично інтерпретуючи які, дійдемо висновку, що головна вісь гороскопа зберігає незмінним своє положення в інерціальному просторі.

Рівняння ж відносного руху (3.27) перетворяться до виду:

; . (3.30)

Аналіз цих рівнянь показує, що у загальному випадку при обертанні основи положення головної осі гіроскопа щодо основи буде змінюватися. Цього руху не буде, якщо в початковий момент часу головна вісь збігається з вектором кутової швидкості обертання основи:

При малих відхиленнях осі фігури від вектора кутової швидкості основи, тобто при , рівняння (3.30) можна лінеаризувати по змінних

(3.31)

В результаті виходить система рівнянь

(3.32)

яка має розв’язок

(3.33)

Графік цього розв’язку показаний на рис. 3.7.

Рис. 3.9. Траєкторія вершини ГКП у відносному русі при обертанні основи

З нього випливає, що головна вісь гіроскопа у відносному русі здійснює рівномірне обертання по конусу навколо вектора кутової швидкості основи в напрямку, зворотному обертанню основи.

Тепер припустимо, що по осях підвісу діють моменти сил в’язкого тертя

(3.34)

Рівняння прецесійного руху будуть відрізнятися від (2.6) лише правими частинами

; (3.35)

Припустимо задля спрощення

(3.36)

й уведемо комплексну змінну

(3.37)

Тепер сукупність рівнянь (3.35) можна замінити на одне рівняння з комплексної змінної , застосувавши метод компресії рівнянь. Отримаємо:

(3.38)

Загальний розв’язок рівняння (3.38) має вид:

.

Переходячи зворотно до первісних координат і , одержимо розв’язок рівнянь (3.35) у відносних координатах

;

, (3.39)

де

; .

На рис. 3.10 показані траєкторії головної осі ГКП на картинній площині, що відповідають додатному й від’ємному значенням в (3.39). Додатне значення відповідає малому куту між напрямками векторів кінетичного моменту гіроскопа й кутової швидкості основи, а від’ємне – куту, близькому до розгорнутого (тобто напрямку обертання основи, протилежному напрямку власного обертання ротора гіроскопа).

З аналізу отриманих результатів випливають такі висновки.

1. При наявності опору відносному рухові гіроскопа, якщо обертання основи відбувається в одному напрямку із власним обертанням гіроскопа, вектор кутової швидкості власного обертання гіроскопа наближується до вектора кутової швидкості абсолютного обертання основи.

Рис. 3.10. Траєкторія апексу ГКП у відносному русі при наявності в’язкого тертя

Якщо основа обертається у бік, протилежний власному обертанню ротора, то кут між віссю фігури й віссю обертання основи неперервно збільшується (нестійкий рух). Але якщо врахувати, що в цьому випадку вектори й утворюють між собою кут, близький до розгорнутого, то виявляється, що й у цьому випадку кут між векторами власної кутової швидкості гіроскопа й кутової швидкості обертання основи увесь час зменшується.

При в’язкому терті швидкість розходження або сходження коливань пропорційна кутовій швидкості обертання основи.

Отже, опір відносному руху гіроскопа приводить до повороту гіроскопа в напрямку, при якому його власне обертання збігалося б з обертанням основи.

Рівняння повороту гіроскопа в абсолютних кутових координатах мають вид

; ,

інтегруючи які, можна знайти залежність від часу абсолютних кутових координат

;

. (3.40)

З (3.40) випливає, що під дією сил опору відносному рухові головної осі гіроскопа вектор власного кінетичного моменту гіроскопа переміщується в абсолютному просторі по найкоротшій відстані до вектору абсолютної кутової швидкості основи (рис. 3.11).

Тепер припустимо, що на гіроскоп діють моменти сил сухого тертя

(3.41)

Рівняння відносного руху навколо вектора набудуть виду:

Їх можна звести до одного рівняння

, (3.42)

де позначено

; . (3.43)

Рис 3.11. Траєкторія вершини ГКП в інерціальній системі координат

Власний рух гіроскопа в площині зобразиться (при ) у вигляді кола, по якому зображальна точка переміщується по годинниковій стрілці навколо центру , обумовленого співвідношенням

. (3.44)

Розглянемо значення величини при русі зображальної точки по колу за годинниковою стрілкою. Назвемо квадрантом I область правої верхньої чверті кола, II – ліву верхню чверть площини від центра кола й т.д. у відповідності до рис. 3.12.

Рис. 3.12. Квадранти і знаки кутових швидкостей ГКП в них

У квадранті I значення збільшується, отже , а значення зменшується ( ). Аналогічно можна простежити знаки швидкостей и для решти квадрантів. Вони показані на рис. 3.12. У відповідності до цього координати центрів окружності можна описати у вигляді таблиці:

Моменти сил опору	Квадранти
	1	2	3	4

Нанесемо ці центри на площину , відзначивши їх номером квадранта, до руху, у якому вони перебувають (рис. 3.13). Там же нанесені границі областей (квадрантів), у яких знаки швидкостей й залишаються незмінними.

Рух у кожній з цих областей відбувається по окружності з центром на початку цієї області. Чотирикутник 1-2-3-4 називають чотирикутником застою.

Рис.3.13. Траєкторія відносного руху вершини ГКП при дії сухого тертя

При переході апекса з однієї області в іншу стрибком змінюється радіус окружності (змінюється положення її центру). Рух же триває (вже навколо нового центра) проти годинникової стрілки. В цілому траєкторія являє собою збіжну при й розбіжну при (у цьому випадку змінюється напрямок переміщення зображальної точки на протилежне – проти годинникової стрілки, у той час як всі області й центри зберігаються попередніми, рис. 3.14.).

При попаданні зображальної точки у чотирикутник застою відносний рух гіроскопа припиняється.

Більш точно ширина зони застою по кутах и ( і ) визначиться з рівнянь (3.30):

, (3.45)

Рис. 3.14. Траєкторія відносного руху при

з яких видно, що зона застою визначається рівновагою між гіроскопічним моментом, що "діє" на гіроскоп через обертання в просторі його вектора кінетичного моменту з кутовою швидкістю обертання основи, й моментом сил сухого тертя.

За умови, що моменти сил тертя перевищують цей гіроскопічний момент

; , (3.46)

область застою охоплює весь простір, див. (3.45). У цьому випадку яке б кутове положення не посідала у просторі головна вісь гіроскопа, вона повністю втрачає властивість зберігати у просторі незмінним свій напрямок й обертається разом з основою як жорстко пов'язана з нею.

З (3.46) випливає, що за певних значень відомих моментів сил тертя в осях підвісу й кінетичному моменті гіроскопа існує таке значення кутової швидкості основи

; ( ),

що при обертанні основи з кутовою швидкістю, меншою за це значення, гіроскоп повністю втрачає гіроскопічні властивості. Фактично характеризує собою точність (вірніше, кутову швидкість дрейфу) гіроскопа, з якою він зберігає в просторі заданий напрямок.