2.1. Поводження симетричного зрівноваженого гіроскопа

2.1.1. Мета роботи

Шляхом експериментальних досліджень на чисельній моделі вивчити головні особливості поводження СЗГ у його вільному русі, під дією моментів сил тертя, сталих моментів сил і гармонійних моментів і порівняти з висновками теоретичного аналізу.

2.1.2. Сценарій роботи

1. Вивчити теоретичну частину роботи (п. 2.1.3). Ознайомитися з програмним забезпеченням для роботи (п. 2.1.4).

2. Увійти у програмне оточення лабораторної роботи. Провести дослідження у відповідності з завданням (п. 2.1.5)

3. Провести зіставлення характеристик руху СЗГ, одержаних внаслідок проведених експеріментів, з такими, що випливають з теоретичного аналізу. Зробити висновки.

4. Підготувати відповіді на запитання поділу 2.1.7.

5. Показати викладачеві одержані результати, пояснити їх. Доповісти про зроблені висновки. Відповісти на запитання викладача.

2.1.3. Теоретична частина

Коли говорять про рух триступеневого гіроскопа, мають на увазі, зазвичай, кутовий рух у просторі його головної осі (у випадку симетричного гіроскопа – його осі фігури).

Якщо положення головної осі (осі фігури) СЗГ в інерціальному просторі визначити кутами і (рис. 2.1), її рух можна описати наступними диференційними рівняннями

, (2.1)

де позначено: – власний кінетичний момент гіроскопа; – екваторіальний момент інерції гіроскопа; , і – проекції моменту зовнішніх сил, що діють на СЗГ, на осі , і Резаля (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Кінематика кутової орієнтації СЗГ

Навіть у найпростіших випадках відсутності діючих моментів сил, або коли моменти сил є сталими, кутовий рух головної осі СЗГ у просторі є досить складним. Для більш прозорого подання цього руху Б. В. Булгаков запропонував поділити його на дві складові:

• рух у просторі так званої "кінетичної осі " гіроскопа, тобто осі вектора його повного кінетичного момента і жорстко пов’язаної з ним системи координат (рис. 2.2), яку також називають кінетичними осями;

• рух головної осі відносно цієї нової системи кінетичних осей.

Описати рух кінетичної осі у просторі можна за допомогою так званих "рівнянь у формі Булгакова":

. (2.2)

Тут і – кути, що визначають положення кінетичної осі у просторі (рис. 2.2); – величина (модуль вектора) повного кінетичного момента; , і – проекції момента зовнішніх сил, що діють на СЗГ, на осі , і , ось якої спрямована вздовж поточного положення вектора (див. рис. 2.2).

При цьому нові проекції моментів сил пов'язані з проєкціями їх на осі Резаля співвідношеннями:

(2.3)

Рис. 2. 2. Кінематика поворотів вектора кінетичного момента

Якщо положення осі фігури гіроскопа відносно кінетичних осей задати кутами і (рис. 2.3), то рух осі фігури у цих осях можна описати наступними двома рівняннями

, (2.4)

де позначено

. (2.5)

Рис. 2.3. Задання положення осі фігури у кінетичних осях

Хоча рівняння (2.2) і (2.4) відносно незалежні від рівнянь (2.1), але початкові умови цих двох систем рівнянь не є незалежними. Наприклад, якщо вважати, що заданими є початкове положення головної осі гіроскопа (тобто кути і ), дві складові її кутової швидкості ( і ) і початкове значення власного кінетичного момента, то початкове положення кінетичної осі у просторі (тобто значення кутів і ) і початкове значення має визначатися через ці величини з формул:

; ; , (2.6)

де величини, що входять у вирази (2.4), у свою чергу визначаються так:

; ; ;

;

; (2.7)

.

Аналогічно, початкові значення кутів і відхилення осі фігури від кинетичної осі пов’язані зі значеннями кутів повороту осі фігури у інерціальному просторі і кутів повороту кінетичної осі у тій самій системі відліку такими співвідношеннями:

. (2.8)

За допомогою рівнянь у формі Булгакова значно легше зрозуміти і уявити головні особливості руху головної осі СЗГ у просторі.