Основное уравнение арбитражной теории ценообразования
Доходность отдельных видов ценных бумаг, как и фондового рынка в целом, описывается следующим уравнением регрессии:
(14.1)
где
– доходность j-й
ценной бумаги, j=1,
2,...,n;
– значение
k-го
фактора, k=1,
2,...,m;
– коэффициент
чувствительности ценной бумаги j
к фактору k;
–
свободный
член уравнения;
– случайная
переменная с нулевым математическим
ожиданием и отличной от нуля дисперсией,
независимая от рассматриваемых факторов,
j=1,
2,...,n.
Если из существующих на рынке ценных бумаг можно составить портфель, не требующий дополнительных инвестиций, то компоненты его структуры удовлетворяют следующему соотношению:
(14.2)
где
–
доля стоимости j-й
ценной бумаги в портфеле инвестора,
причем
означает
покупку j-й
ценной бумаги,
– ее продажу. Предполагается, что при
увеличении числа ценных бумаг в таком
портфеле влияние случайных переменных
на доходность портфеля стремится к
нулю:
(14.3)
т.е. нефакторный риск по портфелю стремится к нулю при увеличении числа ценных бумаг в портфеле.
Предполагается также, что рассматриваемый портфель нечувствителен ни к одному из факторов:
,
(14.4)
и имеет нулевой факторный риск. Учитывая, что ожидаемое значение случайной переменной в каждом уравнении (14.1) равно нулю и соблюдается условие (14.3), можно показать, что ожидаемая доходность по данному портфелю
Если полученное выражение больше нуля, то это означает, что рассматриваемый портфель является арбитражным, т.е. при нулевых инвестициях имеет место положительная ожидаемая доходность. В условиях рыночного равновесия арбитражные стратегии невозможны и данный портфель будет иметь нулевую ожидаемую доходность:
(14.5)
Если выполняются условия (14.3)–(14.5), то можно показать, что ожидаемая доходность по каждому виду рисковых ценных бумаг может быть представлена в следующем виде:
(14.6)
Уравнение (14.6) представляет собой основное уравнение арбитражной теории ценообразования, которое должно выполняться для каждой рисковой ценной бумаги, фондового рынка в целом и безрискового актива. Поскольку безрисковая ставка процента не зависит от рассматриваемых факторов, то из условия (14.6) следует, что
(14.7)
Если
ввести в рассмотрение портфели, каждый
из которых чувствителен только к одному
из выделенных факторов k
= 1, 2,...,n
и не чувствителен ко всем остальным, то
для каждого такого портфеля уравнение
(14.6) превращается в однофакторное,
используя которое легко показать, что
соответствующий коэффициент
можно представить так:
(14.8)
где
– ожидаемая доходность портфеля,
чувствительного к k-му
фактору и не чувствительного ко всем
остальным.
Учитывая условия (14.7) и (14.8), уравнение (14.6) можно представить так:
(14.9)
Из полученного уравнения следует, что премия за риск по каждой ценной бумаге в форме превышения ожидаемой доходности по бумаге над безрисковой ставкой процента, источником которого является каждый рассматриваемый фактор в отдельности, определяется премией за риск по портфелю, чувствительному только к данному фактору.
Контрольное задание____________________________________
3. Объясните условия формирования основного уравнения теории арбитражного ценообразования.
4. Чем определяется премия за риск по каждому выделенному фактору риска в условиях арбитражной теории ценообразования?