Тема 3. Математичний опис систем автоматичного керування
План
3.1. Аналіз і синтез САК
3.2. Математичні моделі САК. Рівняння динаміки і статики
3.1. Аналіз і синтез сак
ТАК вивчає два кола питань, а саме:
- аналіз САК.
- синтез САК.
Аналіз – це вивчення роботи САК у різних умовах експлуатації, вивчення характеристик уже існуючих САК.
Синтез – це створення САК, які задовольняють наперед заданим вимогам, тобто це розробка систем керування відповідно до поставлених завдань, розробка нових алгоритмів керування, реалізація алгоритмів керування у конкретних САК.
Більш простішою є завдання аналізу, тому що ми вже маємо певну систему й потрібно вивчити її роботу, зробити прогноз, як ця система поведе себе в тих чи інших умовах. Таке вивчення можна здійснити різними шляхами, а саме:
- безпосередньо на самій системі, шляхом вимірювання, експерименту;
- експериментально за допомогою фізичної моделі системи;
- теоретичним шляхом;
- шляхом математичного моделювання.
Кожен з методів має свої позитивні сторони і недоліки. Безпосереднє вивчення роботи системи, проведення експериментальних досліджень дає найбільш достовірний і точний результат. Проте ми не зможемо дослідити роботу системи в ряді режимів, особливо в режимах, близьких до аварійного, а ці режими при вивченні системи цікавлять нас найбільше. Самі експерименти із системою, як правило, досить затратні. Виконати повний цикл досліджень на деяких системах практично неможливо, як наприклад, ми не можемо досліджувати характеристики керування на працюючому ядерному реакторі, космічному кораблі чи зенітній ракеті.
Дешевше і більш повне вивчення може бути здійснене за допомогою фізичної моделі. Тут також є певні переваги і недоліки. Перевага полягає в тому, що фізична модель завжди спрощена й дешевша. Модель можна піддавати найрізноманітнішим випробуванням. Недоліками використання моделі є те, що модель треба створити, на що потрібні певні затрати часу, матеріальних і фінансових ресурсів. Крім того, модель завжди спрощена, не може дати відповідь на всі запитання.
Теоретичний шлях – найбільш повний і розвинутий. Він дозволяє виконати аналіз будь-якої системи в будь-яких режимах роботи. Він є самим дешевим, не потребує значних матеріальних витрат. Проте теоретичне вивчення САК потребує глибоких спеціальних знань і високої кваліфікації спеціаліста. Його можуть виконати тільки спеціалісти, які в достатній мірі вивчили властивості САК, принципи їх роботи і володіють сучасними методами аналізу.
Теорія автоматичного керування вивчає роботу САК теоретичним шляхом. Вона використовує передові досягнення сучасної науки, результати, одержані математиками протягом століть розвитку науки. Під час теоретичних досліджень використовуються й експериментальні дані, одержані на найрізноманітніших САК та їх моделях.
Мова математики, яка використовується під час теоретичного вивчення САК– це мова формул, графіків. Це мова, на якій людина може “спілкуватись” з системами навколишнього світу. Глибоко зрозуміти роботу технічних систем можна тільки на мові математики. Без математичних методів неможливо ні запроектувати складні системи керування, ні проаналізувати їх роботу в різних режимах.
Підготовка інженерів – електромеханіків передбачає вивчення математичних методів аналізу САК. Обмежений час вивчення предмету дозволяє вивчити тільки характеристики найбільш простих САК. У даному курсі вивчають тільки лінійні системи й методи їх аналізу. Проте, одержані знання є достатніми для подальшої самостійної роботи і вивчення особливостей роботи більш складних лінійних і нелінійних систем.
Найбільш важливими завдання аналізу САК є:
визначення, наскільки стійкою є система керування, яким є запас її стійкості;
розрахунок точності керування і виявлення факторів, які на неї впливають;
аналіз роботи системи в перехідних режимах роботи.
Стійкість керування – це характеристика, яка визначає можливість практичного використання системи керування. Якщо для технічних систем ми визначаємо стан системи як справна чи несправна, несправна – значить непридатна для практичного використання, то для систем керування визначаємо, чи стійка система керування чи нестійка. Нестійка система керування - це система, не придатна для практичного використання, тобто це синонім несправної системи.
Стійкість системи – це здатність системи повертатись до попереднього чи близького до нього стану після певної дії на систему.
Стійка система – це система, яка після того як на неї подіяла інша система, змінився характер взаємодії системи з іншими, чи змінились параметри самої системи, повертається до попереднього або близького до нього стану. Нестійка система, після певної дії на неї, вже не повертається до попереднього стану, а відхилення від цього стану у неї збільшується. Демонструвати властивості стійкості систем прийнято на простому механічному прикладі. На рис. 1 показано кульку, яка знаходиться в певних умовах.
Рис. 3.1. Приклади стійкої та нестійкої системи: а) стійка система; б) нестійка система; с) система стійка “в малому” та нестійка “у великому”.
Рис. 3.1,а - демонструє стійку систему: кулька після дії на неї і відхилення її з точки рівноваги повертається в попереднє положення. Рис. 3.1,б - демонструє нестійку систему, тут, якщо ми кульку відхилимо від положення рівноваги, то вона вже ніяк не повернеться в початковий стан. Третій приклад, рис. 3.1,в - демонструє стійку систему в малому й нестійку у великому. При малих відхиленнях система стійка, повертається в початковий стан, але при великих відхиленнях система нестійка. Цей приклад характерний для нелінійних систем. Якщо лінійні системи, які ми переважно будемо вивчати у цьому курсі, є стійкими в малому, то вони є стійкими і у великому. Нелінійні системи можуть бути стійкими при малих діях і нестійкими при великих.
Питання стійкості систем керування є одним з визначальних. Як вже було відмічено нестійкість системи керування є аналогом несправності системи. Хоча система може бути повністю справною, але параметри її такі, що керування нестійке. Такі системи експлуатувати не можна.
Прикладів нестійких систем керування багато. Наведемо найбільш відомі. Відомий усьому світу приклад – це реактор Чорнобильської АЕС. В якомусь з режимів роботи керування реактором виявилось нестійким. Виведений зі стану рівноваги реактор не зміг повернутись назад до такого стану і в результаті стався вибух, який призвів до найбільшої у світі ядерної катастрофи. Ще один приклад – це ракета, яка декілька років тому потрапила в будинок у Броварах біля Києва. Система керування ракети виявилась нестійкою, в результаті ракета втратила керування та попала в жилий будинок.
Точність керування. Точність керування визначається похибкою керування в усталеному режимі роботи. Похибка керування показана на рис.2.3 – це різниця між потрібним значенням вихідної величини, яке обумовлене значенням задаючого сигналу і фактичним значення, яке є на виході системи. Потрібна точність керування - важлива вимога до САК. Зрозуміло, що для практичного використання придатні тільки ті систем, які забезпечують потрібну точність регулювання. Наприклад, якщо система керування зенітною ракетою матиме недостатню точність, то ракета не попаде в ціль, тому така ракета не придатна для військових цілей. Другий приклад, якщо система керування генератором електростанції не забезпечує потрібної частоти струму, то такий генератор не потрібний.
Експлуатаційні характеристики систем керування визначає якість перехідних процесів. Від характеристика перехідних процесів залежить як САК вони працюють умовах керування. Ці характеристики визначаються часом перехідного процесу, амплітудою коливань під час перехідного процесу, їх частотою та іншими характеристиками.
Режими роботи САК
Будь-яка САК працює в двох режимах, а саме:
усталеному,
перехідному.
Усталений
режим роботи
системи - це
режим, в якому незмінною в часі є похибка
регулювання,
тобто
.
Цей режим установлюється по завершенні
перехідних процесів.
Розрізняють такі установлені режими роботи:
статичний,
динамічний.
Статичний усталений режим наступає тоді, коли незмінними в часі є задаюча і збурююча дії при незмінних параметрах системи, в результаті чого незмінною залишається вихідна величина системи (рис. 3.2).
Динамічний усталений режим наступає тоді, коли задаюча, збурююча чи вихідна величина змінюється за постійним в часі законом і похибка регулювання системи залишається незмінною. Наприклад, динамічні режими можуть бути, коли задаюча величина змінюється за синусоїдальним законом, коли вона змінюється з постійними в часі швидкістю чи прискоренням. Динамічним режимом є, наприклад, режим роботи регулятора рівня, коли рідина з резервуара витікає з постійною швидкістю.
Перехідний режим - це такий режим роботи системи, коли САК переходить з одного встановленого режиму роботи до іншого. Цей режим наступає тоді, коли змінюється задаюча величина і систему переводять з одного режиму роботи до іншого, або змінюється величина збурення чи змінюються параметри системи. Перехідний процес у різних системах керування проходить по різному. Змінюючи параметри системи можна змінити характер перехідного режиму.
Під час вивчення роботи та проектування САК значна увага приділяється вивченню роботи системи в перехідних режимах. Якщо в електротехнічних установках перехідні процеси займають відносно малу частку часу, але вони суттєво впливають на вимоги до установок, то в САК перехідні режими є основними режимами роботи, займають переважну частину часу і саме вони визначають вимоги до САК і методи вивчення ТАК
Перехідні режими – це найбільш суттєві режими роботи систем керування. Системи керування призначені для того, щоб працювати в перехідних режимах. Це зумовлює складність САК, вимагає використання складних математичних методів аналізу цих систем. Всі методи аналізу основані на використанні диференційних рівнянь.
Робота системи в перехідному режимі й в динамічному усталеному режимі називається динамічним режимом САК.