9.6. Інтегральні оцінки якості перехідних процесів

Прямі показники якості перехідних процесів є локальними критеріями якості, тобто кожен з них характеризує лише одну будь-яку властивість системи. Вони є наочними і широко використовуються при експлуатації автоматичних систем (настроювання апаратури, регламентні роботи) і при їх експериментальному дослідженні на фізичних і математичних моделях. Однак у загальному випадку локальні критерії складно обчислити аналітично. Більш зручними в цьому плані (хоча й менш наочними) можуть бути інтегральні критерії.

Інтегральні критерії, або інтегральні оцінки, є інтегралами від деяких функцій перехідного процесу вихідної координати чи помилки системи в перехідному режимі. Вони являють собою узагальнені критерії, що дозволяють оцінювати якість перехідного процесу і вплив на нього параметрів системи без визначення окремих показників якості. Широко використовуються лінійні та квадратичні інтегральні оцінки.

Лінійні оцінки обчислюються за формулою

(9.11)

де _в(t) – вільна складова помилки системи.

Однак частіше використовують моменти і-го порядку, тобто оцінки вигляду

..., . (9.12)

Простішою з цих оцінок є момент J₀₀. Якщо система стійка, інтеграл J₀₀ збігається і його значення дорівнює площі під кривою _в(t) (рис.9.9 а).

Чим вище швидкодія системи, тим менша величина J₀₀, тому параметри системи слід обирати так, щоб цей інтеграл набував мінімального значення, тобто d J₀₀/dA = 0, де А – параметр системи, який змінюється. Недоліком цієї оцінки є те, що вона придатна тільки до монотонних чи аперіодичних процесів. При коливальному процесі (рис. 9.9 б) площі, що обмежені осями координат і кривою _в(t), додаються алгебраїчно, і мінімуму J₀₀ може відповідати процес з більшою кількістю коливань, тобто з малою швидкодією й навіть з незатухаючими коливаннями.

У зв’язку з цим для коливальних процесів застосовують інтегральні оцінки, в яких знакозмінність підінтегральної функції тим чи іншим способом усунена. Однією з таких оцінок є інтеграл модулю сигналу помилки, тобто інтегральна абсолютна оцінка

. (9.13)

Однак вона застосовується тільки при дослідженні систем на моделях, бо її аналітичне визначення через коефіцієнти передавальної функції неможливе.

Для дослідження коливальних систем найчастіше застосовують квадратичну інтегральну оцінку

. (9.14)

Вона оцінює площу під кривою _в²(t): чим менша ця площа, тим вище швидкодія системи. Квадратична оцінка, як і лінійна, ураховує величину й тривалість відхилень, причому перші (більші) відхилення мають у кінцевому значенні інтегралу суттєво більшу вагу, ніж подальші (малі) відхилення. Тому мінімальні значення оцінки (9.14) завжди відповідають коливальним процесам з малим затуханням.

Для обчислення квадратичних інтегральних оцінок запропоновано декілька способів. Наведемо один із них без доказу.

За визначенням зображення вихідної величини при подачі на вхід одиничного ступінчастого впливу 1(t) має вигляд:

(9.15)

де W_yx (s) – передавальна функція замкнутої системи за керуючим впливом.

Зображення відхилення вихідної величини від усталеного значення

(9.16)

де W(s) – передавальна функція розімкнутої системи;

W_х (s) - передавальна функція помилки за керуючим впливом.

Цей вираз можна записати у вигляді дробово-раціональної функції

(9.17)

При m  n квадратичну інтегральну оцінку (9.14) можна обчислити за допомогою коефіцієнтів функції (9.17) за формулами:

(9.18)

де  - визначник, складений з коефіцієнтів а_і:

(9.19)

в якому всі коефіцієнти з індексом менше 0 і більше n замінюють нулями.

Визначники ₀, ..., _m отримують з (4.19) заміною стовпчика (k+1) стовпчиком (a_n-1, a_n, 0, 0, …), де k = 0, 1, ..., m.

Коефіцієнти В₀, В₁, ..., В_m визначають так:

B₀ = b²_m; B₁ = b²_m-1 – 2b_mb_m-2;

B_k = b²_m-k – 2b_m-k+1b_m-k-1+ ... + 2(-1)^kb_mb_m-2k; (9.20)

B_m = b²₀.

Знайшовши за (9.18) інтегральну оцінку, можна знайти значення тих чи інших коефіцієнтів (параметрів, що входять до коефіцієнтів), при яких інтеграл набуває мінімального значення. Для цього визначають частинні похідні за коефіцієнтами, що нас цікавлять, дорівнюють похідні до нуля й обчислюють значення коефіцієнтів, при яких оцінка має мінімум.

Існують таблиці розрахунку інтеграла (4.18) у функції коефіцієнтів b₀, …,b_m i a₀, …, a_n зображення за Лапласом сигналу помилки E_в(s) для m=n-1 і до n = 10. Наприклад,

при n = 1, J₂₀ = b²₀/(2a₀a₁);

при n = 2, J₂₀ = (b²₁a₀ + b²₀a₂) /(2a₀a₁a₂);

при n = 3, J₂₀ = [b²₀a₃a₂ + (b²₁ - 2b₂b₀)a₃a₀ + b²₂a₁a₀] / [2a₀a₃(a₁a₂ – a₀a₃)].

Слід зазначити, що задача визначення параметрів за мінімумом J₂₀ розв’язується аналітично лише у нескладних випадках для систем невисокого порядку. У протилежному випадку розрахунки суттєво ускладнюються і задачу слід розв’язувати за допомогою ЕОМ.

Інтегральні оцінки якості широко використовують при синтезі оптимальних систем автоматичного керування як критерій оптимальності.