7.4. Аналіз стійкості за логарифмічними частотними характеристиками.

У інженерній практиці широке застосування отримав аналіз стійкості САК за логарифмічними частотними характеристиками розімкнутої системи. Це пов’язано з тим, що побудова ЛЧХ розімкнутих систем простіша, ніж побудова їх АФЧХ.

Відповідно до критерію Найквіста стійкість пов’язана з кількістю переходів АФЧХ W(j) через відрізок (-;-1) від’ємної дійсної півосі. Коли W(j) перетинає від’ємну дійсну піввісь, ЛФЧХ перетинає пряму (-).

Додатному переходу (зверху вниз) через відрізок (-;-1) характеристики W(j) відповідає перетин ЛФЧХ при L()>0 прямої знизу вверх (точка 2 на рис. 7.6), а від’ємному переходу – зверху вниз (точка 1 на рис. 7.6).

Тоді критерій стійкості Найквіста стосовно до ЛЧХ можна сформулювати таким чином:

Для того, щоб САК була стійкою, необхідно і достатньо, щоб різниця між числом додатних і від’ємних переходів ЛФЧХ через пряму (-) на всіх ділянках, де ЛАЧХ додатна, тобто L()>0, дорівнювала L/2 (L – кількість правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи).

І з аналізу ЛЧХ (рис. 7.6) випливає, що різниця між кількістю додатних і від’ємних переходів ЛФЧХ через пряму (-) при L()>0 дорівнює нулю. Значить, якщо розімкнута САК стійка (L=0), то і замкнута САК буде стійкою. При цьому вона має запаси стійкості за амплітудою h₁ і h₂, та за фазою - .

Тема № 8. Особливості дослідження стійкості САК

План

8.1. Стійкість систем із запізненням

8.2. Побудова зон стійкості

8.3. Структурна стійкість систем

8.1. Стійкість систем із запізненням

Системи автоматичного керування можуть містити ланки запізнення, які описуються рівнянням:

(8.1)

де – постійна величина, яка називається часом запізнення.

Передавальна функція ланки запізнення має вигляд (за теоремою запізнення)

W_зап(s) = e^-s . (8.2)

САК, що містять ланку запізнення, називають системами із запізненням. Структурні схеми системи із запізненням наведені на рис. 8.1.

Передавальна функція розімкнутої системи із запізненням:

(8.3)

де W(s)=R(s)/Q(s) – передавальна функція розімкнутої системи без урахування запізнення.

Якщо ланка запізнення включена в прямий ланцюг (рис. 8.1, а), то передавальна функція замкнутої системи:

(8.4)

Якщо ланка запізнення знаходиться в ланцюгу зворотного зв’язку, то передавальна функція замкнутої системи:

(8.5)

Звідси випливає, що, незалежно від місця включення ланки запізнення, характеристичне рівняння системи із запізненням має вигляд:

(8.6)

Це рівняння не є поліномом, оскільки містить множник . Тому воно має нескінченну кількість коренів. Отже, для дослідження стійкості систем із запізненням необхідно використовувати критерії стійкості.

При цьому слід мати на увазі, що алгебраїчні критерії стійкості в їх звичайній формі для дослідження систем із запізненням непридатні. Крім того, для стійкості лінійних систем першого та другого порядків із запізненням додатності коефіцієнтів характеристичного рівняння стає недостатньо.

Для дослідження стійкості систем із запізненням можна використовувати частотні критерії стійкості Михайлова та Найквіста. Останній є найбільш зручним.

Підставивши в (8.3) s=j, запишемо частотну передавальну функцію W_(j) розімкнутої системи із запізненням:

(8.7)

де W(j) – АФЧХ розімкнутої САК без урахування запізнення;

_() = (() - ) – ФЧХ розімкнутої САК із запізненням.

Звідси видно, що присутність ланки запізнення не змінює модуля A() АФЧХ розімкнутої САК W(j), а вносить лише додатковий від’ємний фазовий зсув , пропорційний частоті. При цьому коефіцієнтом пропорційності є час запізнення .

Знаючи АФЧХ W(j) розімкнутої САК без запізнення, легко побудувати АФЧХ W_(j) системи із запізненням. Для цього кожний модуль A(_i) вектора АФЧХ W(j) потрібно повернути на кут (_i) за годинниковою стрілкою. Тоді W_(j) буде мати вигляд спіралі, що закручується навколо початку координат. Це “закручування” погіршує умови стійкості, оскільки вся АФЧХ наближається до точки (-1 ; j0).

Змінюючи час запізнення  у широких межах, можна знайти таке його значення, при якому замкнута система буде знаходитися на межі стійкості. У цьому випадку характеристика W_(j) буде проходити через точку (-1 ; j0).

Час запізнення і відповідне йому значення частоти _кр , при яких W_(j) проходить через точку (-1;j0), називають критичними. Для критичного випадку справедливі умови:

A(_кр) = |W_(j_кр)| = 1, (8.8)

_(_кр) = (_кр) - _кр_кр = -. (8.9)

Із (8.8) можна знайти спочатку _кр, а потім із (8.9) знайти _кр:

(8.10)

д е – запас стійкості за фазою.

Система автоматичного керування буде стійкою, якщо час запізнення  менший за критичний:   _кр.

Критичний час запізнення можна визначити графічно. Умова (8.8) визначається перетином W(j) з колом одиничного радіуса з центром у початку координат. Точка перетину визначає одночасно _кр і кут (_кр) (рис. 8.2). Тоді критичний час запізнення визначається за (8.10).

Приклад. Передавальна функція розімкнутої системи із запізненням: , де Визначити критичний час запізнення .

Запишемо частотну передавальну функцію:

За умовою (3.38) маємо:

Звідси _кр=0.2с^-1. Фазовий зсув на критичній частоті без урахування запізнення: (_кр) = -arctg(T_кр) = -arctg(50,2) = - /4.

Тоді за (3.40) критичний час запізнення: _кр=(-/4+)/0,2 =15/4 с.

При значеннях   15/4 система стає нестійкою.