5.2 Основні властивості перетворення Лапласа

Реальні САК мають математичну модель у вигляді складних диференціальних рівнянь, розв’язок яких у загальному вигляді в більшості випадків неможливий. Для полегшення даної задачі розроблено декілька методів. Найбільш поширеним є метод перетворення Лапласа, побудований на тому, що функції часу замінюють їх зображеннями.

Перетворенням Лапласа називають співвідношення:

(5.6)

Це співвідношення ставить у відповідність функції x(t) дійсної змінної t функцію X(s) комплексної змінної s (s =  + j).

При цьому x(t) називають оригіналом, а X(s) - зображенням за Лапласом. Це записують таким чином: x(t) X(s), або X(s) x(t).

Інколи використовують символічний запис: X(s)=L{x(t)}, де L - оператор Лапласа.

Співвідношення

(5.7)

визначає за відомим зображенням його оригінал і називається оберненим перетворенням Лапласа.

Символічно це можна записати так: x(t) = L^-1{X(s)}, де L^-1 – обернений оператор Лапласа.

Зупинимося на основних властивостях перетворення Лапласа.

Властивість лінійності. Для будь-яких постійних  і  справедливо:

L{x₁(t) +x₂(t)} = L{x₁(t) + L{x₂(t)}. (5.8)

Диференціювання оригіналу. Цю властивість запишемо з урахуванням нульових початкових умов, тобто x(0) = x'(0) = x''(0) = ….= 0:

(5.9)

Таким чином, за нульових початкових умов диференціюванню оригіналу відповідає множення зображення на s.

Інтегрування оригіналу. Інтегруванню оригіналу відповідає ділення зображення на s:

(5.10)

Теорема запізнення. Для будь-якого додатного числа :

(5.11)

Теорема згортки (теорема множення зображень).

(5.12)

Інтеграл у правій частині рівняння називають згорткою функцій x₁(t) і x₂(t) і позначають x₁(t) x₂(t), тобто

L{x₁ (t)  x₂ (t)} = X₁(s)X₂(s). (5.13)

Теореми про граничні значення.

(5.14)

Ці теореми дозволяють визначити усталене (кінцеве) або початкове значення функції х(t) за відомим зображенням.

Теорема розкладу. Теорема дозволяє знайти оригінал за відомим зображенням, яке являє собою дробово-раціональну функцію X(s) = A(s)/B(s), причому ступінь полінома чисельника менше ступеня полінома знаменника. Якщо всі корені рівняння B(s)=0 прості, то формула розкладу може бути записана у вигляді:

(5.15)

де n - ступінь полінома B(s); S_k - корені рівняння B(s) = 0.

Перетворення Лапласа є дуже цінним методом аналізу і синтезу систем керування, коли необхідно визначити перехідні процеси і точність регулювання в усталеному режимі. Але слід пам'ятати, що це перетворення є справедливим тільки для лінійних стаціонарних (з постійними параметрами) систем. У нестаціонарних системах один або декілька параметрів залежать від часу, тому перетворенням Лапласа користуватися не можна. Перетворення Лапласа не можна використовувати також для аналізу нелінійних систем.

У таблиці 5.1 наведені деякі важливі перетворення Лапласа.

Таблиця 5.1

Перетворення Лапласа найпростіших функцій

x(t)	X(s)	x(t)	X(s)	x(t)	X(s)
1(t)	1/s	t2	2/s3	sin(t)	/(s2+2)
(t)	1	tn	n!/sn+1	cos(t)	s/(s2+2)
'(t)	s	e-t	1/(s+)	e-t sin(t)	/[(s+)2+2]
t	1/s2	te-t	1/(s+)2	e-t cos(t)	(s+)/[(s+)2+2]