3.2. Математичні моделі сак. Рівняння динаміки і статики

На певному етапі аналізу та синтезу САК отримують її математичний опис за допомогою рівнянь (аналітичний опис), графіків, структурних схем, графів (графічний опис), таблиць (табличний опис). Причому, для опису всієї системи в цілому спочатку звичайно складають опис її окремих елементів. Так, для отримання рівнянь системи складають рівняння для кожного її елемента. Сукупність цих рівнянь називають математичною моделлю САК.

Математична модель має бути досить простою, щоб не обтяжувати дослідження, але з іншого боку - точною, щоб повніше відображати властивості самої системи.

Такою моделлю можуть слугувати диференціальні рівняння, складені на основі фізичних законів, що визначають поведінку системи (закон збереження матерії, енергії, другий закон Ньютона, закони Кірхгофа і т.д.).

Розв’язуючи ці рівняння, можна визначити значення вихідної координати y(t) системи в будь-який момент часу при вибраному законі зміни задавальних x(t) та збурюючих z(t) впливів.

У більшості випадків безперервні САК описуються нелінійними диференціальними рівняннями n-го порядку, які можуть бути записані у вигляді:

F(y, y',y'', …, x, x',x'',…) = 0. (3.1)

Це рівняння (для спрощення припустимо, що збурюючий вплив z(t) відсутній) описує процеси в системі при будь-яких вхідних впливах і називається рівнянням динаміки.

Якщо припустити, що вплив x(t) не змінюється і має постійне значення x₀, а процес у системі усталився, і вихідна координата набула значення y₀, то рівняння набуде вигляду:

F(y₀, 0,0, …, x₀,0,0, …) = 0. (3.2)

Це рівняння описує статичний режим роботи САК і називається рівнянням статики.

Статичний режим можна описати графічно за допомогою статичних характеристик. Статичною характеристикою називається залежність вихідної величини від вхідної в статичному режимі.

У більшості випадків статичні характеристики реальних елементів нелінійні і задаються у вигляді графіків (рис. 3.3).

Рис. 3.2. Перехідні процеси в САК

Але в ряді випадків нелінійності елементів САК є неістотними, або система працює на обмежених ділянках статичних характеристик її елементів, де нелінійність недостатньо виражена. У цих випадках реальну нелінійну характеристику вдається з певним ступенем точності замінити лінійною і здійснити лінеаризацію рівнянь, тобто замінити точні нелінійні рівняння наближеними лінійними. Це дозволяє спростити методи аналізу та синтезу САК.

Раніше відзначалось, що реальні системи є нелінійними, і тому проводиться операція лінеаризації, тобто наближеної заміни нелінійних залежностей лінійними. Розглянемо приклад лінеаризації статичної характеристики елемента, схема якого показана на рис.3.4,а

Рис.3.4. а) Схема елемента; б) статична лінійна характеристика; в) статична нелінійна характеристики

В теорії автоматичного керування використовуються такі методи лінеаризації: аналітичні та графоаналітичні. Статичною характеристикою елемента чи системи називається графічна залежність виходу від входу в статиці (в усталеному режимі). Саме статична характеристика дає можливість визначити передаточний коефіцієнт, тобто пропорційність відхилень вхідних і вихідних змінних.

Якщо статична характеристика задана у вигляді аналітичної залежності

, (3.3)

то її можна розкласти в ряд Тейлора в околі робочої точки:

(3.4)

де : характеризує робочу точку на статичній характеристиці; , - похідні функції в робочій точці.

Відкидаючи другу і старші похідні, отримують рівняння лінійної (лінеаризованої) статичної характеристики

, (3.5)

де : - коефіцієнт передачі.

а)

Рис.3.5.Лінеаризація статичних характеристик методом дотичної(а) та січної (б)

Якщо статичні характеристики задані графічно, то лінеаризовану характеристику можна отримати графічними методами. За методом дотичної проводять дотичну до статичної характеристики в робочій точці А (U₀,Х₀) так, щоб ΔХ₁≈ΔХ₂. Вона і буде лінійною статичною характеристикою в робочому діапазоні U₁,U₂ (рис.3.5.а). Якщо статична характеристика має вигляд, зображений на рис.3.5.б, то застосовують метод січних. Спочатку проводять дотичну до статичної характеристики в робочій точці А так, щоб ΔХ₁≈ΔХ₂, потім ділять навпіл відрізки ΔХ₁ та ΔХ₂, а лінійною характеристикою буде пряма а,b. Для лінійних статичних характеристик коефіцієнт передачі

, (3.6)

де, α – кут нахилу прямої до осі абсцис.

Проводячи лінеаризацію, необхідно оцінити точність заміни нелінійної характеристики лінійною. Наприклад, похибка лінеаризації при використанні метода дотичних буде найбільшою на кінцях робочого діапазону. Необхідно враховувати також, що лінеаризація проводиться в робочій точці А, і при зміні робочого режиму необхідно повторити лінеаризацію в новій робочій точці.

У результаті лінеаризації математична модель САК зводиться до системи лінійних диференціальних рівнянь чи до одного лінійного диференціального рівняння n-го порядку:

(3.7)