8.2. Побудова зон стійкості

Вище були розглянуті найбільш прості критерії, які найчастіше використовуються для дослідження стійкості систем з відомими параметрами. У ряді випадків при проектуванні та настроюванні систем автоматичного керування надається деяка можливість змінювання одного-двох параметрів системи. При цьому значення параметрів повинні бути підібраними таким чином, аби забезпечити необхідні запаси стійкості системи. Ці значення можуть бути визначені у випадку побудови зони стійкості в площині параметрів, що змінюються.

Задача Вишнеградського. Задача побудови зон стійкості для систем третього порядку була вперше вирішена засновником теорії автоматичного регулювання І.А.Вишнеградським у роботі "Об общей теории регуляторов" (1876 р.).

Р озглянемо систему третього порядку, характеристичне рівняння якої має вигляд: a₃s³+a₂s²+a₁s+a₀=0. Зведемо характеристичне рівняння до вигляду

s³+С₂s²+С₁s+С₀=0

С₃ = a₃/a₃, С₂ = a₂/a₃, С₁ = a₁/a₃, С₀ = a₀/a₃

Для нього знайдемо умову стійкості за критерієм Гурвіца:

С₂С₁ - С₀  0.

Позначимо С₂С₁/С₀ = XY, де ; - параметри Вишнеградського.

Знайдемо

;

Після підстановки отримаємо

XY-10 , XY1

Рівняння границі зони стійкості XY=1. Це рівняння є рівнянням гіперболи (рис. 8.3), що ділить площину першого квадранту з додатними координатними осями X і Y на дві області I i II. Зона ІІ, що відповідає умові XY1, є стійкою, а зона І, де XY1 - нестійкою.

Вираз XY1 є умовою стійкості (критерієм) Вишнеградського. На основі цього критерію можна дістати залежності між іншими параметрами (сталими часу, коефіцієнтами підсилення елементів системи), що входять до складу коефіцієнтів a₃, a₂, a₁, a₀. При цьому залежності між іншими параметрами, як правило, відрізняються від гіперболічного закону.

Метод D-розбиття. Рівняння меж зон стійкості можна находити за допомогою будь-якого критерію стійкості. Однак, найчастіше на практиці застосовують загальний метод побудови зон стійкості, що був запропонований Ю.І.Неймарком. Цей метод він назвав методом D-розбиття.

Розглянемо характеристичне рівняння замкнутої системи n-го порядку:

D(s) = sⁿ+a_n-1s^n-1+ …+a₁s+a₀ = 0; a_n=1. (8.11)

Можна уявити деякий n-мірний простір, по координатних осях якого розміщуються коефіцієнти рівняння (8.11). Цей простір називають простором коефіцієнтів, кожній точці якого відповідає певне значення всіх n коефіцієнтів, які, в свою чергу, визначають n коренів характеристичного рівняння.

Якщо змінювати коефіцієнти рівняння, змінюватись будуть також і його корені, а, значить, буде змінюватись розподілення коренів у комплексній площині s. При деякому значенні коефіцієнтів рівняння (8.11) один з коренів потрапить у початок координат, або пара коренів потрапить на уявну вісь, тобто корені будуть мати вигляд s=0, або s=j_k (система буде знаходитись на межі стійкості). Відповідна точка в просторі коефіцієнтів у цьому випадку буде задовольняти рівнянню:

D(j_k) =( j_k) ⁿ+a_n-1( j_k) ^n-1+ …+a₁(j_k) +a₀ = 0. (8.12)

Цьому рівнянню при -+ відповідає деяка поверхня S. Якщо корені перетинають цю поверхню, вони переходять з однієї півплощини коренів у другу. При переході коренів з лівої частини площини у праву система стає нестійкою. При протилежному переході - нестійка система стає стійкою. Отже, переміщення коренів зумовлено рухом відповідних точок у n-мірному просторі параметрів (коефіцієнтів).

Для практичних потреб важливо встановити зони значень параметрів, які відповідають положенню коренів на межі стійкості, й зони значень параметрів, що відповідають стійким системам. Поділ простору коефіцієнтів (параметрів) на відповідні зони і є основною метою методу D-розбиття.

D-розбиття за одним параметром. Розглянемо методику побудови зони стійкості в площині комплексного параметра Т_х:

- вихідне характеристичне рівняння D(s)=0 подамо у вигляді X(s)+T_xY(s)=0;

- знаходимо величину досліджуваного параметра Т_х= -X(s)/Y(s);

- знаходимо комплексний вираз параметра Т_х за допомогою підстановки s=j, і виділяємо його дійсну А() і уявну В() складові: Т_х= А()+j В();

- Т_х становить деяку криву в комплексній площині, яка відповідає уявним кореням характеристичного рівняння і є сукупністю параметрів Т_х, при яких система знаходиться на межі стійкості. Ця характеристика називається межею стійкості в площині параметра Т_х, або кривою D-розбиття;

- у комплексній площині параметра Т_х за правилом штрихування Неймарка знаходимо зону стійкості. Правило формулюється так: якщо, рухатись по межі D-розбиття від значень =- до значень =+, то зона стійкості буде розташована зліва від межі стійкості;

- оскільки параметр Т_х є дійсною, фізично реальною величиною, виділяємо на дійсній (горизонтальній) вісі в зоні, що обмежена кривою D-розбиття, необхідний запас стійкості й визначаємо необхідний діапазон значень параметра Т_х, який може бути рекомендовано при проектуванні й настроюванні відповідної системи.

Н а рис. 8.4 за даними таблиці побудована крива D-розбиття. Виконані розрахунки дають змогу встановити граничний коефіцієнт підсилення К_гр=200. З урахуванням деякого запасу стійкості А_зап можна виділити на дійсній вісі зону рекомендованих значень коефіцієнта підсилення К розімкнутої системи.