8.3. Структурна стійкість систем
У всіх розглянутих вище випадках стійкість системи автоматичного керування залежала від значень параметрів ланок її структурної схеми. Системи, в яких стійкість залежить лише від значень параметрів ланок, називаються структурно-стійкими. Але є такі системи керування, в яких стійкість не може бути досягнута за рахунок зміни параметрів її елементів. Для цього необхідно змінювати структуру системи. Такі системи називають структурно-нестійкими.
Уперше питання визначення структурної стійкості систем автоматичного керування поставив І.І.Гальперін. Однак ця задача в загальному вигляді на даний час не вирішена. Тільки для деяких класів структурних схем сформульовані часткові ознаки, за якими можна судити про структурну стійкість системи.
Розглянемо приклади структурно-нестійких систем (рис. 8.5).
Перша схема (рис. 8.5, а) містить аперіодичну і консервативну ланки, які охоплені від'ємним зворотним зв'язком. Характеристичне рівняння замкнутої системи:
(T1s+1)(T22s2+1)+K1K2=0, або T1T22 s3 +T22s2+ T1s+(1+K1K2 )= 0.
Відповідно до критерію стійкості Гурвіца:
2 = T1T22 - T1T22(1+K1K2 )0,
тому що при додатних значеннях Т1, Т2, К1, К2 цей вираз зводиться до вигляду:
- T1T22K1K2 0.
Таким чином, система є структурно-нестійкою при будь-яких параметрах її елементів і для того, щоб зробити її стійкою, необхідно змінити структуру системи.
Друга схема (рис. 8.5, б) містить аперіодичну і дві інтегруючі ланки. Характеристичне рівняння замкнутої системи:
(T1s+1)s2 + K1K2К3 = 0, або Т1s3 + s2 + K1K2К3 = 0.
При будь-яких значеннях Т1, К1, К2, К3 умова критерію Гурвіца не виконується, оскільки
10 - Т1К1К2К3 0.
Тобто система структурно-нестійка.
На підставі дослідження деяких структур систем автоматичного керування були отримані ознаки структурної стійкості, які іноді наводяться в літературі у вигляді таблиць і умов.
Так, відносно одноконтурних систем можна сформулювати такі умови:
для того, щоб одноконтурна система, яка не містить нестійких ланок або містить одну таку ланку, була структурно-стійкою, необхідно і достатньо, аби:
а) система без нестійких ланок містила не більше однієї інтегруючої ланки, а система з однією нестійкою ланкою взагалі не містила б інтегруючих ланок;
б) система, що містить q консервативних ланок, мала б ступінь характеристичного рівняння 4q.
Можна також зробити деякі узагальнення:
зовнішньою ознакою структурно-нестійкої системи є відсутність (рівність нулю) у лінійному характеристичному рівнянні замкнутої системи деяких членів (коефіцієнтів);
системи, які мають дві й більше інтегруючих ланок, за відсутності форсуючих ланок є структурно-нестійкими.
Питання для самоперевірки:
Поясніть поняття стійкості САК. Поясніть поняття: стійкість “у цілому”, “у великому”, “у малому”.
Які дві складові входять у розв’язок лінійного диференціального рівняння?
Поясніть поняття: асимптотично стійкий рух.
Викладіть суть теорем Ляпунова.
Що таке ліві корені, праві корені?
Сформулюйте необхідні та достатні умови стійкості лінійних САК.
Що можна сказати про стійкість лінійної САК, якщо один корінь характеристичного рівняння чисто уявний, а решта – ліві?
Що таке критерії стійкості й чим викликана необхідність їх використання?
На які групи поділяються всі критерії стійкості?
Які критерії належать до алгебраїчних, до частотних?
Сформулюйте необхідні та достатні умови стійкості для систем першого та другого порядку.
Сформулюйте критерій стійкості Гурвіца.
Що таке граничний коефіцієнт підсилення?
Як визначити граничний коефіцієнт підсилення за критерієм Гурвіца?
Сформулюйте критерій стійкості Льєнара-Шипара.
Який принцип лежить в основі частотних критеріїв? Поясніть його суть.
На який кут обернеться вектор D(j) системи 4-го порядку з одним правим коренем при зміні частоти від 0 до ?
Сформулюйте критерій стійкості Михайлова.
Як визначається стійкість системи за коренями дійсної та уявної функцій Михайлова?
Сформулюйте критерій стійкості Найквіста для випадку нестійкої розімкнутої системи, для випадку стійкої розімкнутої системи.
Що таке запаси стійкості за фазою та амплітудою?