10.6. Синтез коректувальних пристроїв за логарифмічними амплітудно-частотними характеристиками

Задача синтезу полягає у визначенні такої передавальної функції коректувального пристрою W_кп(s), щоб система мала необхідні показники якості:

• порядок астатизму  (=0, 1, 2);

• значення коефіцієнтів помилок С_і (і = 0, 1, 2, 3);

• перерегулювання ;

• час регулювання t_рег;

• запаси стійкості за фазою й амплітудою;

• кількість коливань за час регулювання.

Під час синтезу коректувальних пристроїв часто використовують лише деякі з цих показників.

У інженерній практиці найбільш широко використовують метод синтезу коректувального пристрою за логарифмічними частотними характеристиками. Цей метод є дуже зручним для розрахунку послідовного коректувального пристрою, оскільки ЛАЧХ L_кп() цього пристрою можна отримати як різницю характеристик скоректованої (бажаної) L_б() і початкової некоректованої L₀(), систем:

L_кп() = L_б() – L₀(), (10.33)

Синтез коректувального пристрою складається з таких етапів:

• побудова ЛАЧХ початкової системи, яка складається з функціонально необхідних елементів;

• побудова бажаної ЛАЧХ (БЛАЧХ) L_б(), яка відповідає заданим показникам якості;

• визначення ЛАЧХ послідовного коректувального пристрою графічним відніманням характеристики L₀() від характеристики L_б();

• визначення передавальної функції послідовного коректувального пристрою W_к1(s) за його ЛАЧХ;

• визначення передавальних функцій зустрічно-паралельного W_к2(s) і паралельного W_к3(s) коректувальних пристроїв, що є еквівалентними послідовному пристрою;

• вибір одного з варіантів включення коректувального пристрою з урахуванням отриманих результатів і фізичних властивостей елементів системи;

• вибір схеми чотириполюсника, яка реалізує отриману передавальну функцію і розрахунок його параметрів;

• перевірочний розрахунок скоректованої системи.

Побудову ЛАЧХ початкової САК виконують за передавальною функцією W(s) розімкнутої системи. При цьому слід мати на увазі, що у чисельнику й знаменнику W(s) можуть бути співмножники з дуже малими сталими часу Т_і. Їх вплив на властивості системи незначний, тому під час побудови ЛАЧХ ці співмножники можна не враховувати (впевнено можна зневажити двочленами й тричленами, в яких Т_і1/100_зр, де _зр – частота зрізу системи).

При побудови бажаної логарифмічної амплітудної частотної характеристики (БЛАЧХ) виділяють чотири основних зони (рис. 10.10):

• зона I дуже низьких частот (0  ₁), що характеризує ступінь астатизму  системи за управляючим впливом; нахил БЛАЧХ у цій зоні дорівнює -20 дБ/дек;

• з она ІІ низьких частот (₁  ₂); нахил БЛАЧХ у цій зоні визначається кількістю аперіодичних (коливальних) ланок, що мають сталу часу Т=1/₁, і складає –40 або –60 дБ/дек.

Рис. 10.10. Приклад бажаної ЛАЧХ

Ці дві зони частот визначають точність відтворювання впливів, що змінюються повільно, а також статичну точність системи;

• зона ІІІ середніх частот (₂  ₃) визначає запаси стійкості за фазою й амплітудою, а також якість системи у перехідному режимі. Для забезпечення необхідних показників якості нахил БЛАЧХ у цій зоні обов’язково повинен дорівнювати –20 дБ/дек, а ширина зони - не менше однієї декади (чим більша ширина, тим більші запаси стійкості й менша коливальність системи); _зр – частота зрізу;

• зона IV високих частот (₃ ), нахил у якій визначається кількістю аперіодичних чи коливальних ланок. Хід БЛАЧХ у ній суттєво не впливає на якість системи. Його слід вибирати найбільш крутим, що дозволяє знизити вимоги до потужності виконавчих пристроїв і зменшити величину флуктуаційних помилок. З іншого боку, хід БЛАЧХ у цій зоні слід вибирати за умови отримання найбільш простого коректувального пристрою, тобто направляти БЛАЧХ за ЛАЧХ некоректованої системи або паралельно їй.

З аналізу БЛАЧХ видно, що найбільш значному коригуванню підлягає зона низьких і середніх частот ЛАЧХ некоректованої системи. Оскільки хід БЛАЧХ у цих зонах характеризує основні показники якості САУ, на нього накладаються досить жорсткі обмеження.

Розрахунок БЛАЧХ можна виконати за заданими коефіцієнтами помилок С_і. Для цього використовують приблизні співвідношення, що пов’язують показники якості САК з параметрами обмеженої кількості типових ЛАЧХ і дозволяють достатньо просто вирішити задачу синтезу коректувального пристрою:

K_vk = 1/C₁; C₂/2 = 1/(₁K_vk);

C₃/6 = -1/(₁₂K_vk); K_vk = _зр₂/₁ , (10.34)

де K_vk – коефіцієнт підсилення скоректованої розімкнутої системи.

За обчисленими значеннями K_vk, _зр, ₂ , ₁ і з урахуванням вимог до БЛАЧХ будують цю характеристику (рис. 10.10). Побудову слід починати з асимптот зони І і ІІІ. Величина L₂ має бути не менше 1012 дБ.

У іншому випадку розрахунок БЛАЧХ виконують за заданими величинами коефіцієнта підсилення K_vk скоректованої системи, ступеня астатизму , часу регулювання t_рег, перерегулювання .

Побудову БЛАЧХ починають з визначення частоти зрізу _зр. Для цього використовують номограму (рис. 10.11), яка визначає залежність перерегулювання  і часу регулювання t_рег від максимуму Р_max дійсної частотної характеристики замкнутої системи, причому час регулювання подано у вигляді функції частоти зрізу _зр.

Номограму використовують таким чином. За заданим значенням перерегулювання  визначають величину Р_max. Потім за Р_max визначають співвідношення між t_рег і _зр:

t_рег = с/_зр (10.35)

На рис. 5.11 стрілками показано, як для значення =25% визначено Р_max = 1,2 і потім t_рег = 2,8/_зр.

З (10.35) визначають частоту зрізу, при якій час регулювання не перевищує заданого значення. Середньо-частотну асимптоту БЛАЧХ проводять через точку _зр з нахилом –20 дБ/дек.

Довжина цієї асимптоти встановлюється такою, щоб забезпечити необхідний запас стійкості. Для цього за раніше визначеним Р_max знаходять надлишок фази  і граничні значення L_м логарифмічних амплітуд (рис. 10.12).

Надлишок фази  повинен бути забезпечений на ділянці БЛАЧХ, де виконується співвідношення:

L_м  L_баж()  -L_м . (10.36)

Спочатку проводять горизонтальну пунктирну пряму з ординатою L_м. Потім з точки перетину цієї прямої з середньочастотною асимптотою будують спрягаючу асимптоту, нахил якої складає –40 чи –60 дБ/дек. Проводять її до точки перетину з низькочастотною асимптотою.

Після цього перевіряють надлишок фази _а на частоті _а, де ордината L_б() дорівнює L_м. Значення _а обчислюють за формулою:

_а =  - /2 – (к/2 - _і/_а) + (m/2 - _j/_а), (10.37)

де  - ступінь астатизму;

_і – частоти спряження, менші за _а, на яких нахил L_б() змінюється на -20 дБ/дек;

к – кількість частот _і;

_j - частоти спряження, менші за _а, на яких нахил L_б() змінюється на +20 дБ/дек;

m – кількість частот спряження _j; і = 1...к; j = 1...m

Я кщо надлишок фази менший за необхідний, спрягаючу асимптоту слід перемістити ліворуч. У протилежному випадку (великий надлишок фази) асимптоту переміщують праворуч.

Високочастотну асимптоту БЛАЧХ будують, як вказано вище (зона IV). Після її вибору й спряження із середньочастотною асимптотою перевіряють надлишок фази _б на частоті _б, де ордината характеристики L_б() дорівнює -L_м. Значення _б обчислюють за формулою:

_б =  - q_зр/4 – _б/_r , (10.38)

де q_зр – відносний нахил середньочастотної асимптоти (при нахилі –20 дБ/дек q_зр = 1); _r – частоти спряження, більші за частоту зрізу _зр; r = 1...n; n – кількість частот _r.

Якщо _б менше за необхідне значення, високочастотну асимптоту БЛАЧХ переміщують праворуч.

Для БЛАЧХ, що наведена на рис. 10.10, отримаємо такі значення коефіцієнтів формул (10.37) і (10.38):

 =1; _а = ₂; _і = ₁; к =1; _j - відсутні; m = 0;

_б = ₃; n =2; ₁ = ₃; ₂ = ₄.

Після побудови БЛАЧХ задачу синтезу коректувального пристрою розв’язують у такій послідовності.

З БЛАЧХ геометрично віднімають ЛАЧХ початкової системи й отримують ЛАЧХ послідовного коректувального пристрою.

За виглядом ЛАЧХ коректувального пристрою визначають його передавальну функцію W_к1(s): кожній частоті спряження _і , на якій нахил ЛАЧХ змінюється на +20 дБ/дек, відповідає множник (s/_і+1) у чисельнику передавальної функції W_к1(s), а частоті спряження _j , на якій нахил ЛАЧХ змінюється на -20 дБ/дек, відповідає множник (s/_j +1) у її знаменнику.

За формулами (10.22) визначають передавальні функції зустрічно-паралельного W_к2(s) і паралельного W_к3(s) коректувальних пристроїв, які є еквівалентними послідовному пристрою.

Після аналізу отриманих передавальних функцій і фізичних властивостей елементів системи вибирають один з варіантів включення коректувального пристрою, його схемну реалізацію (пасивний чи активний чотириполюсник) і розраховують його параметри (значення ємностей і резисторів).

Під час розрахунку параметрів коректувального пристрою за відомими співвідношеннями одним з параметрів задаються так, щоб отримані значення резисторів R і ємностей C були зручними для технічної реалізації й знаходились у діапазоні: R = 10³10⁷ Ом; С = 0,001  100 мкФ.

Синтез коректувального пристрою за методом ЛАЧХ базується на певних припущеннях. Крім того, реалізація необхідної ЛАЧХ пристрою також може бути приблизною. Тому на заключному етапі синтезу обов’язково необхідна перевірка якості синтезованої системи. При суттєвому невиконанні вимог до системи (перерегулювання і час регулювання перевищують допустимі значення) необхідно з’ясувати й усунути причини невдалого рішення.

Питання для самоперевірки:

12. Що таке коректувальний пристрій, які існують способи включення коректувальних пристроїв до САК?

13. Які види перетворювальних елементів використовують у САК?

14. Як визначається передавальна функція пасивного чотириполюсника?

15. Наведіть схеми диференціюючих, інтегруючих, інтегро-диференціюючих пасивних чотириполюсників постійного струму.

16. Назвіть основні недоліки пасивних чотириполюсників.

17. Як визначається передавальна функція активного чотириполюсника постійного струму?

18. Назвіть основні переваги активних чотириполюсників постійного струму.

19. Назвіть способи підвищення точності регулювання в усталених режимах.

20. У чому полягає протиріччя між точністю регулювання і стійкістю системи?

21. Чому для підвищення порядку астатизму на практиці використовують не інтегруючу ланку, а ізодромну?