6.3 Умови стійкості лінійних систем автоматичного керування

Лінійні САК описуються лінійним диференціальним рівнянням, розв’язок якого містить дві складові

y(t) = y_з (t) + y_в (t), (6.2)

де y_з(t) - змушена складова, яка залежить від виду правої частини рівняння. Вона визначається як частинний розв’язок неоднорідного рівняння;

y_в(t) - вільна складова, яка визначається загальним розв’язком однорідного диференціального рівняння:

(a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + … + a₁p +a₀)y_в(t) = 0. (6.3)

Звичайно цікавляться стійкістю змушеної складової y_з(t) перехідного процесу. Тому за незбурений рух системи приймаємо змушену складову y_з(t). Тоді збуреним рухом буде будь-яка можлива зміна вихідної величини y(t), а відхиленням - вільна складова:

y_в (t) = y (t) - y_з (t) . (6.4)

Тоді відповідно до (3.1) система буде асимптотично стійкою, якщо протягом часу при t вільна складова буде наближатися до нуля, тобто y_в(t) 0. Значить, для того, щоб вияснити необхідні та достатні умови стійкості, потрібно з’ясувати, за яких умов виконується дана вимога, тобто потрібно розв’язати диференціальне рівняння (3.3).

Цей розв’язок має вигляд:

(6.5)

де C_i - сталі інтегрування;

s_i - корені характеристичного рівняння:

a_nsⁿ + a_n-1s^n-1 + … + a₁s +a₀ = 0. (6.6)

Корені s_i і визначатимуть характер перехідного процесу в системі. У загальному випадку тобто корені рівняння (6.6) можуть бути дійсними, комплексно-спряженими, нульовими.

Н а комплексній площині ці корені можуть розташовуватись по-різному (рис. 6.2).

Корені з від’ємними дійсними частинами (s₅, s₆, s₇) прийнято називати лівими, оскільки вони лежать у лівій півплощині.

Корені з додатними дійсними частинами (s₁, s₂ , s₃) називають правими коренями .

Неважко показати, що для виконання умови необхідно, щоб дійсні частини _i коренів s_i були від’ємними. Звідси випливають необхідні та достатні умови стійкості лінійних САК.

Для того, щоб лінійна система була стійкою, необхідно та достатньо, щоб усі корені її характеристичного рівняння були лівими.

6.4. Алгебраїчні критерії стійкості сак

Обчислення коренів є простим для характеристичного рівняння першого та другого порядку. Для рівнянь третього та четвертого порядку загальні вирази для коренів громіздкі та незручні у використанні. Загальні вирази для коренів рівнянь вищих порядків не існують.

Тому важливе значення мають правила, які дозволяють визначати стійкість системи без обчислення коренів характеристичного рівняння. Ці правила називають критеріями стійкості.

За допомогою критеріїв стійкості можна встановити, стійка система чи ні, а також з’ясувати, як впливають на стійкість ті чи інші параметри та структурні зміни в системі.

Усі критерії можуть бути розподілені на алгебраїчні та частотні.

До алгебраїчних належать критерії Рауса, Гурвіца, Льєнара-Шипара. До частотних - критерії стійкості Михайлова, Найквіста.

Алгебраїчні критерії дозволяють судити про стійкість САК за коефіцієнтами характеристичного рівняння (6.6).

Зазначимо спочатку, що необхідною умовою стійкості системи будь-якого порядку є додатність усіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, тобто

(6.7)

Для систем першого та другого порядків необхідна умова (6.7) є і достатньою умовою стійкості.

Для систем третього та вищих порядків додатність коефіцієнтів є необхідною умовою, але недостатньою.

Критерій стійкості Гурвіца. Цей критерій був запропонований 1895 року німецьким математиком О.Гурвіцем у вигляді визначників, що складаються за коефіцієнтами характеристичного рівняння замкнутої системи.

Спочатку будують головний визначник Гурвіца за таким правилом: по головній діагоналі визначника зліва направо виписують усі коефіцієнти характеристичного рівняння від a_n-1 до a₀ у напрямі зменшення індексів. Стовпці вгору від головної діагоналі доповнюють коефіцієнтами з індексами, що послідовно зменшуються, а стовпці вниз - коефіцієнтами з індексами, що послідовно збільшуються. Місця у визначнику, що залишилися, заповнюють нулями. Тобто визначник має вигляд:

(6.8)

Відкреслюючи у головному визначникові Гурвіца, як показано пунктиром, діагональні мінори, отримуємо визначники Гурвіца нижчого порядку:

(6.9)

Критерій стійкості Гурвіца формулюється таким чином: для того, щоб система автоматичного управління була стійкою, необхідно та достатньо, щоб усі визначники Гурвіца були додатними.

В останньому стовпці головного визначника Гурвіца (6.8) від нуля відрізняється лише один коефіцієнт a₀, тому

(6.10)

Звідси видно, що при a₀ > 0 для перевірки стійкості системи достатньо знайти лише визначники Гурвіца від ₁ до _n-1 (головний визначник _n обчислювати непотрібно).

Якщо всі визначники нижчого порядку додатні, то система знаходиться на межі стійкості, коли головний визначник дорівнює нулю, тобто

(6.11)

Це можливо у двох випадках: a₀ = 0 чи _n-1 = 0.

Використовуючи критерій Гурвіца, можна за заданими параметрами системи прийняти за невідомий будь-який один параметр (наприклад, коефіцієнт підсилення) та визначити його граничне (критичне) значення, при якому система буде знаходитися на межі стійкості.

Приклад. Характеристичне рівняння замкнутої системи має вигляд

де a₄=5; a₃=3; a₂=6; a₁=2; a₀=1.

Дослідити стійкість системи за критерієм Гурвіца і визначити критичний коефіцієнт підсилення системи.

Усі коефіцієнти рівняння додатні. Визначник Гурвіца матиме вигляд:

Значить, система стійка.

Визначимо критичне значення коефіцієнта a₀, прийнявши його за невідомий параметр:

a₀ (362 - 522 - 3a₀3) = 0; a₀ (16 - 9a₀) = 0;

a₀^кр= 16/9, тобто при a₀ 16/9 система стає нестійкою.