9.7. Частотні методи оцінки якості регулювання

Частотні оцінки якості перехідного процесу ґрунтуються на аналітичному зв’язку між частотними характеристиками системи та її перехідним процесом. Застосування цих методів дозволяє визначити такі важливі показники якості, як швидкодія, перерегулювання, коливальність процесу. Ці питання широко розглянуті в літературі, є багато допоміжних таблиць і графіків, що значною мірою спрощує інженерні розрахунки.

При дослідженні якості регулювання широко використовується дійсна частотна характеристика Р() (ДЧХ) замкнутої системи, через яку можна визначити перехідну функцію h(t):

. (9.21)

Аналіз цього виразу виявив, що за виглядом ДЧХ замкнутої системи можна дати наближену оцінку якості перехідного процесу і одержати основні показники якості. Наведемо деякі залежності.

1. Властивість лінійності: якщо ДЧХ можна зобразити сумою , то і перехідний процес h(t) може бути зображений сумою складових:

2. Відповідність масштабів по осі ординат для Р() і h(t). Якщо помножити Р() на постійний множник, відповідні значення функції h(t) також помножуються на цей множник.

3. Відповідність масштабів по осі абсцис для Р() і h(t). Якщо аргумент  у виразі частотної характеристики помножити на постійне число (рис. 9.10, а), то аргумент t у відповідному виразі перехідної функції буде ділитися на це число (рис. 9.10, б)

. (9.22)

Іншими словами, чим ширша ДЧХ, тим менше час перехідного процесу.

4. Початкове значення ДЧХ дорівнює кінцевому значенню перехідної характеристики:

, або Р(0) = h_уст. (9.23)

5. Кінцеве значення ДЧХ дорівнює початковому значенню перехідної характеристики:

, або Р() = h(0). (9.24)

6. Якщо ДЧХ (рис. 4.11,а) на частоті =₁ має розрив безперервності, тобто Р(₁)=, то характеристичне рівняння системи буде мати уявний корінь s_i = j₁, тобто в системі встановлюються незатухаючі гармонічні коливання, якщо решта коренів є лівими. У цьому випадку система знаходиться на межі стійкості.

Наявність високого й гострого шпилю характеристики Р(), за яким вона переходить через нуль на частоті, близькій ₁ (рис. 9.11,б), свідчить про повільне затухання коливального процесу.

7. Для того, щоб перехідна характеристика мала перерегулювання не більше 18% (18 %), ДЧХ має бути додатною незростаючою функцією частоти, тобто Р()0, dP()/d  0 (рис. 9.12, а)

8. Для того, щоб перехідний процес був монотонним, ДЧХ має бути додатною безперервною функцією з від’ємною похідною, що зменшується за абсолютним значенням, тобто Р()0, |dP()/d| < 0 (рис. 9.12, б).

9. Максимальне значення перерегулювання _max перехідного процесу можна визначити за формулою (рис. 9.11, б):

_max = [1,18P_max – P(0)] / P(0) (9.25)

1 0. Якщо ДЧХ може бути апроксимована трапецією з діапазоном частот ₂ і коефіцієнтом нахилу  = ₁₂ (рис. 4.13), час перехідного процесу системи знаходиться у межах:

₂  t_рег  4₂.

Якщо ДЧХ має максимум P_max, то перерегулювання  і час регулювання t_рег можна визначити за спеціальними графіками (рис. 4.14) залежно від величини P_max/Р(0). При цьому час регулювання знаходиться у межах: 3₂ t_рег  8₂.

На залежності між ДЧХ системи і її перехідним процесом ґрунтуються наближені методи побудови графіків перехідних процесів при впливі одиничної ступінчастої функції 1(t) і за нульових початкових умов: метод трапецій і метод трикутників. Раніше вони широко використовувалися в інженерній практиці, але тепер, коли перехідні процеси будь-якої системи керування можна досить легко одержати за допомогою ЕОМ, ці методи втрачають сенс.