Критерій стійкості Льєнара-Шипара. Критерій, запропонований 1914 року п. Льєнаром та р. Шипаром, є однією з модифікацій критерію Гурвіца:

Якщо додатні всі коефіцієнти характеристичного рівняння замкнутої системи, то для її стійкості необхідно та достатньо, щоб були додатними всі визначники Гурвіца з парними або непарними індексами.

Тобто для стійкості САК необхідно та достатньо виконання таких нерівностей:

(6.12)

або

(6.13)

Критерій Льєнара-Шипара потребує розкриття меншого числа визначників, ніж критерій Гурвіца, і тому зручніший для дослідження стійкості САК високого порядку.

Тема №7. Частотні критерії стійкості систем автоматичного керування

План

7.1. Принципу аргументу.

7.2. Критерій стійкості Михайлова.

7.3. Критерій стійкості Найквіста.

7.4. Аналіз стійкості за логарифмічними частотними характеристиками

7.1. Принципу аргументу.

Частотні критерії стійкості дозволяють судити про стійкість САК за виглядом їх частотних характеристик. Ці критерії є графоаналітичними та отримали широке розповсюдження, оскільки вони дозволяють порівняно легко досліджувати стійкість САК високого порядку, а також мають наочність і просту геометричну інтерпретацію.

У основі частотних критеріїв стійкості лежить наслідок із відомого принципу аргументу.

Принцип аргументу. Нехай дано поліном n - го ступеня

(7.1)

Цей поліном може бути розкладений на співмножники:

(7.2)

де - корені рівняння D(s)=0.

На комплексній площині кожний корінь s_i зображується у вигляді вектора, проведеного з початку координат до точки s_i. Довжина цього вектора дорівнює модулю комплексного числа |s_i|, а кут між вектором і дійсною додатною піввіссю - аргументу числа, тобто Arg s_i.

Різниця (s - s_i) зображується вектором, проведеним з точки s_i до довільної точки s (рис. 7.1 а). Якщо взяти випадок, коли s = j, то отримаємо:

(7.3)

Тоді кінці векторів ( ) зводитимуться в одній точці s =j на уявній вісі (рис.7.1,б). У виразі (7.3) являє собою вектор, рівний добутку елементарних векторів ( ) та числа a_n. Модуль цього вектора дорівнює добутку модулів елементарних векторів та a_n, а аргумент дорівнює сумі аргументів елементарних векторів.

П рийнято вважати обертання вектора проти годинникової стрілки додатним, а за годинниковою – від’ємним. Тоді при зміні частоти  від - до + кожний вектор обернеться на кут , якщо його початок, тобто корінь s_i, знаходиться зліва від уявної вісі (лівий корінь), і на кут -, якщо корінь правий (рис.7.1 в).

Припустимо, що поліном (7.1) має m правих коренів і (n-m) лівих коренів (усього коренів у полінома n-го ступеня - n). Тоді за зміною  від - до + приріст аргументу вектора , що дорівнює сумі кутів обертання векторів ( ), дорівнює:

(7.4)

Приріст аргументу D(j) при зміні частоти  від - до + дорівнює різниці між числом лівих і правих коренів рівняння D(s)=0, помноженої на .

У цьому полягає принцип аргументу.

Якщо розглядати зміну частоти  від 0 до +, то зміна аргументу вектора буде вдвічі менша:

(7.5)

7.2. Критерій стійкості Михайлова.

Критерій, сформульований 1938 року російським вченим О.В. Михайловим, є геометричною інтерпретацією принципу аргументу та дозволяє судити про стійкість системи за деякою кривою, що називається кривою Михайлова.

Нехай дано характеристичне рівняння замкнутої системи. Ліва частина цього рівняння називається характеристичним поліномом (7.1).

Якщо підставити до нього уявне значення s=j, то отримаємо комплексний поліном:

(7.6)

де X() та Y() - дійсна та уявна функції Михайлова;

D() та () - модуль та аргумент вектора .

Причому,

(7.7)

При зміні частоти  від 0 до + вектор буде змінюватися за модулем і напрямком і описувати при цьому своїм кінцем у комплексній площині деяку криву, яку називають кривою (годографом) Михайлова.

Кут повороту вектора навколо початку координат при зміні частоти  від 0 до + визначається формулою (7.5).

Звідси кількість правих коренів полінома D(s):

(7.8)

Значить, кількість правих коренів дорівнюватиме нулю, якщо

(7.9)

Для стійкості системи необхідно та достатньо, щоб усі корені характеристичного рівняння були лівими, тобто, крім умови (7.9), має ще виконуватися умова

(7.10)

Формули (7.9) та (7.10) є математичним виразом критерію стійкості Михайлова.

Із (7.7) випливає, що при =0 X(0)=a₀; Y(0)=0, тобто крива Михайлова починається на додатній дійсній півосі: D(0) = a₀ > 0.

Наведемо формулювання критерію стійкості Михайлова:

Для того, щоб система автоматичного керування була стійкою, необхідно та достатньо, щоб крива Михайлова при зміні частоти  від 0 до +, починаючись при =0 на дійсній додатній півосі, обходила тільки проти годинникової стрілки послідовно n квадрантів координатної площини ніде не перетворюючись на нуль, де n - порядок характеристичного рівняння.

Крива Михайлова для стійких систем має плавну спіралевидну форму, кінець її прямує до нескінченності у квадранті, номер якого дорівнює степеню характеристичного рівняння (рис. 3.4).

Кількість правих коренів для нестійкої САК можна визначити за (7.8).

І з рис. 7.2 випливає, що крива Михайлова при послідовному проходженні квадрантів почергово перетинає дійсну та уявну вісі. У точках перетину з дійсною віссю уявна функція Михайлова дорівнює нулю: Y() = 0. У точках перетину з уявною віссю стає рівною нулю дійсна функція Михайлова: X() = 0.

X() та Y() можуть бути зображені графічно у вигляді деяких кривих (рис. 7.3).Точки перетину цих кривих з віссю частот дають значення коренів рівнянь:

X() = 0; Y() = 0.

Якщо ₀, ₂, ₄ , ... - це корені рівняння Y() = 0, причому ₀< ₂<₄<...; ₁, ₃, ₅, ... - корені рівняння X() = 0, причому ₁<₃<₅<..., то для стійкої системи обов’язкове виконання нерівності:

₀ < ₁ < ₂ < ₃ < ₄ < ₅ <... (7.11)

Звідси випливає ще одне формулювання критерію стійкості Михайлова:

С АК буде стійкою тоді й тільки тоді, коли дійсна X() та уявна Y () функції Михайлова, прирівняні до нуля, мають усі дійсні та переміжні корені, причому загальна кількість коренів дорівнює порядку n характеристичного рівняння, а при  = 0 виконуються умови X(0) =a₀  0; Y(0)  0.