9.8. Чутливість систем автоматичного керування

Параметри системи автоматичного керування в процесі роботи можуть змінюватись через зміну зовнішніх умов, неточність виготовлення окремих пристроїв системи, старіння її елементів тощо. Зміна параметрів САК, тобто зміна коефіцієнтів рівнянь системи, викликає зміну її статичних і динамічних властивостей.

Залежність характеристик системи від зміни будь-яких її параметрів оцінюють чутливістю. Під чутливістю розуміють властивість системи змінювати режим роботи через відхилення її параметрів від номінальних значень. Для кількісної оцінки чутливості використовують функції чутливості, які визначають як частинні похідні від координат системи або показників якості процесів керування за варіаціями параметрів системи. Кількість цих функцій дорівнює кількості параметрів, що змінюються при роботі САК.

У загальному випадку функцію чутливості можна записати у вигляді:

, (9.26)

де x_k – координата системи ; T_i – змінний параметр.

Індекс 0 відповідає визначенню функції чутливості при початковому (номінальному) значенні параметрів системи.

Якщо U_ki = 0 (варіації параметрів відсутні, та їх значення дорівнюють номінальному значенню), то систему називають початковою. Рух такої системи має назву основного руху.

Якщо U_ki  0, то систему називають варіаційною, а її рух – варіаційним рухом.

Різниця між варіаційним і основним рухом системи є додатковий рух. При цьому мають на увазі різницю ординат відповідного руху в одні й ті самі моменти часу.

Нехай рівняння початкової нелінійної системи має вигляд:

dx_k/dt = f_k(x₁, x₂, …, x_n; T₁, T₂, …, T_m), (9.27)

де x₁, …, x_n - координати; T₁, …, T_m – параметри системи.

При варіаційній зміні параметрів нове рівняння системи можна записати у вигляді n рівнянь першого порядку (вважаємо, що зміна параметрів системи не веде до зміни її порядку n):

. (9.28)

Додатковий рух системи у загальному випадку матиме вигляд:

. (9.29)

Якщо варіаційної і x_k початкової системи диференційовані за параметром Т_і (i = 1, …, m), то розкладаючи додатковий рух у ряд Тейлора за прирощенням параметра за умови малих відхилень, отримаємо:

, (9.30)

де і = 1, ..., m.

Оскільки , то останній вираз можна записати у вигляді суми добутків функцій чутливості U_ki і прирощень параметрів:

. (9.31)

Маючи значення функцій чутливості за величиною варіацій параметрів можна знайти перше наближення виразу додаткового руху.

Дослідження властивостей чутливості системи в цілому може виконуватися на основі рівнянь чутливості системи, для знаходження яких необхідно продиференціювати всі n рівнянь першого порядку. При цьому лінійні рівняння чутливості системи в загальному випадку матимуть вигляд:

. (9.32)

На основі розв’язання рівнянь чутливості можна дістати функції чутливості U_ki за відповідними параметрами Т_і.

Визначення функцій і коефіцієнтів чутливості для показників якості є більш простим, оскільки в цьому випадку відсутні диференціальні рівняння. Наприклад, функції чутливості частотних характеристик мають вид

. (9.33)

Тоді отримуємо як функції частоти  формули для відхилень частотних характеристик за рахунок зміни параметрів системи:

. (9.34)

Для наведеного вище простішого прикладу маємо:

.

Функції чутливості частотних характеристик за сталою часу Т:

.

Відхилення частотних характеристик відповідно до (9.34):

A()= U_AT()T, ()= U_T()T.

Визначення функцій чутливості застосовується для проектування системи з найменшою зміною якісних показників при відхиленні значень параметрів системи від розрахункових.

Питання для самоперевірки:

1. Які існують методи оцінювання якості перехідного процесу?

2. Назвіть прямі оцінки (показники) якості перехідного процесу.

3. Як оцінюється якість регулювання в усталеному режимі?

4. Як визначають коефіцієнти помилок за передавальною функцією помилки?

5. Які показники якості можна приблизно оцінити за параметрами АЧХ розімкнутої чи замкнутої системи?

6. Як оцінюють якість перехідних процесів за розташуванням коренів характеристичного рівняння замкнутої системи?

7. Які існують інтегральні оцінки якості перехідних процесів?

8. Чим відрізняються інтегральні критерії оцінювання аперіодичних і коливальних процесів?

9. Які особливості якості САК можна визначити за зовнішнім виглядом дійсної частотної характеристики замкнутої системи?

10. Що розуміють під чутливістю системи?

11. Запишіть рівняння чутливості системи.