Тема 5. Математичний опис систем автоматичного керування План.
5.1. Математичні моделі САК. Рівняння динаміки і статики
5.2. Основні властивості перетворення Лапласа
5.3.Форми запису лінійних диференціальних рівнянь.
5.4. Перетворення Фур’є. Частотні характеристики
5.5. Типові динамічні ланки та їх характеристики
5.6 Структурні схеми лінійних систем
5.7 Частотні характеристики системи
5.1. Математичні моделі сак. Рівняння динаміки і статики
На певному етапі аналізу та синтезу САК отримують її математичний опис за допомогою рівнянь (аналітичний опис), графіків, структурних схем, графів (графічний опис), таблиць (табличний опис). Причому, для опису всієї системи в цілому спочатку звичайно складають опис її окремих елементів. Так, для отримання рівнянь системи складають рівняння для кожного її елемента. Сукупність цих рівнянь називають математичною моделлю САК.
Математична модель має бути досить простою, щоб не обтяжувати дослідження, але з іншого боку - точною, щоб повніше відображати властивості самої системи.
Такою моделлю можуть слугувати диференціальні рівняння, складені на основі фізичних законів, що визначають поведінку системи (закон збереження матерії, енергії, другий закон Ньютона, закони Кірхгофа і т.д.).
Розв’язуючи ці рівняння, можна визначити значення вихідної координати y(t) системи в будь-який момент часу при вибраному законі зміни задавальних x(t) та збурюючих z(t) впливів.
У більшості випадків безперервні САК описуються нелінійними диференціальними рівняннями n-го порядку, які можуть бути записані у вигляді:
F(y, y',y'', …, x, x',x'',…) = 0. (5.1)
Це рівняння (для спрощення припустимо, що збурюючий вплив z(t) відсутній) описує процеси в системі при будь-яких вхідних впливах і називається рівнянням динаміки.
Якщо припустити, що вплив x(t) не змінюється і має постійне значення x0, а процес у системі усталився, і вихідна координата набула значення y0, то рівняння набуде вигляду: F(y0, 0,0, …, x0,0,0, …) = 0. (5.2)
Це рівняння описує статичний режим роботи САК і називається рівнянням статики.
Статичний режим можна описати графічно за допомогою статичних характеристик. Статичною характеристикою називається залежність вихідної величини від вхідної в статичному режимі.
У більшості випадків статичні характеристики реальних елементів нелінійні і задаються у вигляді графіків (рис. 5.1).
Але в ряді випадків нелінійності елементів САК є неістотними, або система працює на обмежених ділянках статичних характеристик її елементів, де нелінійність недостатньо виражена. У цих випадках реальну нелінійну характеристику вдається з певним ступенем точності замінити лінійною і здійснити лінеаризацію рівнянь, тобто замінити точні нелінійні рівняння наближеними лінійними. Це дозволяє спростити методи аналізу та синтезу САК.
Якщо нелінійні статичні характеристики задані у виді графіків або таблиць, лінеаризацію найпростіше виконувати графічно (табличні залежності для цього необхідно також перетворити у графіки). Ділянку реальної статичної характеристики y=(x) можна замінити еквівалентним відрізком прямої, рівняння якої має вигляд y = y0 + k(x-x0).
Якщо характеристика задана в аналітичній формі y=(x), лінеаризацію можна виконати розкладом функції в ряд Тейлора довкола точки х=х0, що відповідає номінальному режиму:
(5.3)
Згідно з гіпотезою малих відхилень Вишнеградського відхиленням змінної (х-х0) у другому, третьому і далі ступенях можна знехтувати, тому вираз (2.3) спрощується і формула лінеаризації набуває вигляду:
(х) = (х0) + '(x0)(x-x0), (5.4)
що є еквівалентним виразу y = y0 + k(x-x0), де k = '(x0).
У результаті лінеаризації математична модель САК зводиться до системи лінійних диференціальних рівнянь чи до одного лінійного диференціального рівняння n-го порядку:
(5.5)