3. Основные виды потоков платежей и их использование в задачах финансового менеджмента.

Потоки платежей с разовыми изменениями платежей.

Потоки платежей, в которых члены потока – постоянные величины – постоянные потоки. Потоки платежей, члены которых изменяются по своей величине в течение срока ренты – переменные потоки платежей.

Срок ренты – n лет, он разбит на К-временных отрезков (t = 1,2,…К). Продолжительность временных отрезков n1, n2,…nk; n = n1 + n2 + …+nk.

Член ренты Rt – величина постоянная только в пределах каждого временного отрезка, т.е. Rt1 ≠ Rt2 ≠ … ≠ Rtk Проценты начисляются в каждом временном отрезке по ставкам i1,i2…ik в конце года.

При соблюдении данных условий наращенная сумма годовой ренты равна:

S = R1 * Sn1;i1 * (1+i) ^{(n - n1)} + R2 * S n2;i2 * (1+i) ^{( n – ( n1+n2))} + …..+ Rk * S nk;ik

Переменные ренты с постоянным абсолютным и относительным изменением ее членов

Ренты с постоянным абсолютным изменением ее членов

Имеется рента, члены которой вносятся в течение n лет в конце года таким образом, что каждый член больше предшествующего на постоянную величину – d, т.е. члены ренты изменяются по закону возрастающей арифметической прогрессии. Одновременно на члены ренты начисляются один раз в конце года сложные проценты по ставке i.

Обозначим первый член ренты R. Тогда к концу срока ренты, т.е. в конце n-го года, ее члены достигнут величин:

Первый член – R * (1+i) ^{( n-1)}

Второй член – (R+d) * (1+i) ^(n-2)

Третий член – (R + 2*d) * (1+i) ^(n-3)…………..

Предпоследний член – (R + (n-2) * d) * (1+i)

Последний член – R + (n-1) * d

Тогда наращенная сумма равна:

S = R * S n;i + d / i * (S n;i – n)

Современная величина: A = S * (1 + i) ^(-n)

Ренты с постоянным относительным изменением платежей

Имеется рента, члены которой вносятся в течение n лет в конце года т.о., что каждый член больше предшествующего в q раз, т.е. члены ренты изменяются по закону возрастающей геометрической прогрессии. Одновременно на члены ренты начисляются в конце каждого года сложные % по ставке i. Если обозначить первый член ренты R, то к концу срока ренты, т.е. в конце n–го года, ее члены образуют ряд:

Первый член – R * (1+i)^{( n-1)}

Второй член – R * q * (1+i) ^(n-2)

Третий член – R * q² * (1+i) ^{( n-3)} ………………………….

Предпоследний член – R * q ^{( n-2)} * (1+i)

Последний член – R* q ^{( n-1)}

Наращенная сумма:

S = R * qⁿ – (1+i) ⁿ

q – (1 + i)

Современная величина: А = R * q ⁿ * (1 + i) ⁿ – 1

q – (1 + i)

4. Доходность финансовых операций.

Общим принципом определения финансовой эффективности операций является доходность, эквивалентная доходности от проведения ссудной операции (определение % ставки, отражающей общую доходность на вложенный капитал). Расчетную % ставку в ссудных операциях называют эффективной ставкой. В расчетах по оценке облигаций ее наз. доходностью на момент погашения.

При анализе производственных инвестиционных проектов показатель доходности называют внутренней нормой прибыли или маржинальной эффективностью капитала.

Однако, чаще всего расчетную % ставку обозначают термином «полная доходность» - ПД. Минимальной величиной ПД является расчетная годовая ставка %, при которой все капитализированные доходы составят сумму не меньшую чем сумма инвестиций.

Для ссудной операции – сумма дисконтированных годовых выплат равна фактически полученной сумме кредита (номинальная сумма кредита минус комиссионные выплаты).

При оценке доходности облигаций минимальная ПД – равенство цены приобретения облигации сумме дисконтированных по минимальной ПД купонных платежей и выкупной цены.

Чем выше ПД, тем больше доходность операции. При неблагоприятных условиях ПД может быть меньше минимальной, т.е. приобрести отрицательное значение. Показатель ПД являясь измерителем доходности для кредитора, служит ценой кредита для заемщика.

Для расчета величины минимальной ПД необходимо составить уравнение, которое математически выражало бы разность между суммой предоставленного кредита (суммой инвестиций) и суммой всех дисконтированных доходов на момент получения кредита, которая должна равняться нулю.

D – (Y1*V^t1 + Y1*V^(t1+1) +Y1*V^T) = 0

D – сумма предоставленного кредита;

Y – срочные платежи в счет погашения задолженности;

V ^T – дисконтные множители;

T = ∑ tj – срок финансовой операции, т.е. время от момента платежа Y1 до момента погашения кредита.

Расчет ставки ПД при ссудных операциях с удержанием комиссионных

Без учета комиссионных удержаний доходность ссудных операций измеряется эквивалентной годовой ставкой сложных %. Однако кредиторы из суммы выдаваемого кредита удерживают различные выплаты. Поэтому плата за кредит для заемщика растет, а доходность кредитора возрастает.

Метод расчета годовой ставки ПД iэ (годовой ставки сложных %).

Заемщик получил ссуду D на срок n по ставке простых % i. При выдаче ссуды удерживаются комиссионные в размере – G. Тогда величина фактически выданной ссуды составит D-G. При определении ставки ПД – iэ – наращение величины D-G по ставке iэ должно быть равно наращенной величине D по ставке i:

(D-G) * (1+iэ) ⁿ = D*(1+n*i)

Комиссионные и другие удержания обычно указываются в виде процента от суммы кредита или от суммы произведенной операции:

G = D * g

где g – процент комиссионных удержаний от суммы кредита.

Подставив значение G в предыдущее уравнение и решив его относительно i, получим:

iэ = ((1+n*i)/(1 - g)) ^1/n - 1

При расчете iэ принимаем временную базу К = 365 дней. При начислении процентов на сумму ссуды временная база К = 360 или 365 дней.

Характеристика доходности в виде ставки простых % i эп рассчитывается:

i эп = (1+ n*i)/((1-g)*n) – 1

При выдаче ссуды под сложные % уравнение для определения ставки iэ:

(D-G) * (1+iэ) ⁿ = D* (1+i) ⁿ

Тогда iэ = (1+i) / ((1-g)^{1/ n}) – 1

Расчет ставки ПД при учетных операциях с удержанием комиссионных

При реализации учетной операции с использованием простой учетной ставки без удержания комиссионных ее доходность определится по формуле эквивалентной ставки:

i = d / (1 – n*d), где n – срок ссуды в годах

При удержании дисконта и комиссионных владелец векселя получит сумму:

D – D*n’ * d – G, где

D – номинальная стоимость фин. инструмента (векселя);

n’ – временной интервал от момента учета векселя до момента уплаты по нему;

d – учетная ставка;

D*n’*d – величина дисконта;

G = D * g – сумма комиссионных удержаний.

Подставив в рассмотренное выражение значение G, получим:

D – D * n’*d – D*g = D * (1 – n’*d – g)

Следовательно, сумма долга может быть выражена уравнением:

D* (1 – n’*d – g) * (1+i э) ⁿ = D

Откуда показатель доходности i э равен:

i э = (1/ (1 – n’*d – g)) ^1/n – 1

Если же расчет производится по ставке простых процентов i эп, т.е.

D * (1 – n’*d - g) * (1+ n* i эп) = D

То i эп = 1/ (1 – n’ * d – g) * n – 1