14. Оценка денежных потоков пренумерандо

Логика оценки денежного потока пренумерандо аналогична оценке постнумерандо, расхождение в вычислительных формулах объясняется сдвигом элементов потока к началу соответствующих подъинтервалов. Схема наращения для прямой задачи изображена на рис. 13.

Рис. 13. Логика решения прямой задачи для потока пренумерандо.

Следовательно, будущая стоимость исходного денежного потока пренумерандо FV_pre может быть рассчитана по формуле:

(20)

Таким образом (21)

Для обратной задачи схема дисконтирования представлена на рис. 14.

Рис. 14. Логика решения обратной задачи для потока пренумерандо.

Приведенная стоимость потока пренумерандо PV_pre может быть рассчитана по формуле:

(22)

Таким образом (23)

15. Аннуитеты и их виды

Аннуитет – это денежный поток, в котором все суммы возникают через одинаковые промежутки времени и являются равновеликими. Аннуитет может быть исходящим денежным потоком по отношению к инвестору (периодические равные платежи) либо входящим денежным потоком (поступление арендной платы). Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. Также выделяются два типа аннуитетов: постнумерандо и пренумерандо. Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца.

Будущая стоимость аннуитета

Символ функции – FVA.

Задача оценки срочного аннуитета позволяет рассчитать величину накопленных равновеликих взносов при заданной ставке дохода. Схема накопления единицы за период приведена на рис. 15.

Рис. 15. Накопление единицы за период.

Будущая стоимость аннуитета рассчитывается по формуле:

(24)

Входящий в формулу множитель FM3(r,n) называется мультиплицирующим множителем для аннуитета.

Он рассчитывается по формуле:

(25)

Данный множитель показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления А. Также множитель называют коэффициентом аккумуляции вкладов.

Соответственно будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле:

(26)

или

(27)

Текущая стоимость аннуитета

Символ функции – PVA.

Оценка срочного аннуитета производится с позиции текущего момента. Под текущим моментом понимается момент времени, начиная с которого отсчитываются равные временные интервалы, входящие в аннуитет. Схема дисконтирования денежного потока приведена на рис. 16.

Рис. 16. Текущая стоимость аннуитета.

Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо имеет вид:

(28)

Множитель FM4(r,n) называется дисконтирующим множителем для аннуитета, и рассчитывается по формуле:

(29)

Экономический смысл дисконтирующего множителя FM4(r,n) заключаются в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r.

Аналогично приведенная стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле:

(30)

или

(31)

В финансовых таблицах не уточняется, какая схема подразумевается в финансовой сделке – постнумерандо или пренумерандо.

Метод депозитной книжки

Сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде процентов. При снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, уменьшается.

Текущая стоимость аннуитета ­– это величина депозита с общей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы.

Эта сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга. Таким образом, погашение исходного долга осуществляется постепенно в течение всего срока действия аннуитета. Структура годового платежа постоянно меняется – в начальные периоды в нем преобладают начисленные за очередной период проценты; с течением времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и повышается доля погашаемой части основного долга.

Пример:

В банке получена ссуда на пять лет в сумме 20 000 долл. под 13% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа.

Решение.

Обозначим за А величину искомого годового платежа. Данный финансовый контракт можно представить в виде аннуитета постнумерандо (рис. 17), о котором известны его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия.

Рис. 17. Метод депозитной книжки.

Рассуждение с позиции кредитора. Для банка данный контракт – отток денежных средств. В течении пяти лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму А, причем каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и часть основной суммы долга. В течении первого года заемщик пользовался ссудой в размере 20 000 долл., платеж в конце года будет состоять из двух частей: процентов за год в сумме 2 600 долл. (13% от 20 000) и погашаемой части долга в сумме А-2600. Расчет платежа за следующий год составит (20000 – (А+2600)). Величина годового платежа А находится:

20000=FM4(13%,5)*А=3,517*А; А=5687 долл.

Таблица 4. Динамика платежей по методу депозитной книжки.

год	Остаток ссуды на начало года	Сумма годового платежа	В том числе		Остаток ссуды на конец года
			Проценты за год	Погашенная часть долга
1	20 000	5 687	2 600	3 087	16 913
2	16 913	5 687	2 199	3 488	13 425
3	13 425	5 687	1 745	3 942	9 483
4	9 483	5 687	1 233	4 454	5 029
5	5 029	5 687	658	5 029	0

Ответ: Сумма годового платежа А = 5 687 долл.

Аннуитет с изменяющейся величиной платежа

Возможны ситуации, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения или уменьшения. Например, при заключении договора аренды в условиях инфляции может предусматриваться периодическое увеличение платежа, компенсирующее негативное влияние изменения цен.

Рис. 18. Аннуитет с изменяющейся величиной платежа.

Оценка данного аннуитета может выполняться с помощью финансовых таблиц.

Бессрочный аннуитет

Аннуитет называется бессрочным (или вечной рентой), если денежные поступления продолжаются длительное время (к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет). Математически это означает . В этом случае определение будущей стоимости аннуитета не имеет смысла. Определение приведенной стоимости аннуитета имеет решение.

Примером бессрочного аннуитета могут служить облигации, по которым производят регулярные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока.

Поток платежей в постоянном бессрочном аннуитете при одном денежном поступлении А за период, представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Для расчета бессрочного аннуитета постнумерандо используют формулу:

(32)

С финансовой точки зрения, деньги которые поступят через много лет, сейчас мало чего стоят (а при высокой инфляции практически ничего не стоят).

Данная формула используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета, если известен размер денежного поступления за период. В качестве r обычно принимается гарантированная процентная ставка.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо определяется с помощью приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо по формуле:

(33)

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от постнумерандо на величину первого платежа.