Исследование крутильных колебаний вала

Объект исследования: волновое уравнение.

Результаты, полученные лично автором: получено решение задачи о крутильных колебаниях вала с диском на одном конце.

При выводе дифференциального уравнения крутильных колебаний вала принимаются следующие положения:

1) поперечные круговые сечения стержня при кручении остаются плоскими и сохраняют между собой первоначальные расстояния, радиусы, проведенные в этих сечениях, не искривляются;

2) кручение кругового вала можно представить, как результат сдвигов, вызванных поворотом поперечных сечений друг относительно друга, причем все повороты совершаются вокруг оси вала.

В работе рассматривается задача о крутильных колебаниях вала с диском на одном конце. Пусть один конец вала длины l закреплен, а на другой его конец насажен массивный диск, момент инерции которого относительно оси вала равен J₁. В начальный момент диск закручивается на малый угол α и отпускается без начальной скорости.

Дифференциальное уравнение крутильных колебаний вала имеет вид:

где , J₀ – полярный момент инерции поперечного сечения стержня относительно его центра, G – модуль сдвига, – угол поворота поперечного сечения, t – время, за которое совершается вращение, K – момент инерции вала относительно оси вращения.

При x=l:

где с= , J₁ – момент инерции диска.

Решим задачу методом Фурье (ищем решение в виде ).

Функции T(t) и X(x) являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений:

(1)

Функция Х(х) должна удовлетворять условиям Х(0) = 0 и

Решение уравнения (1) имеет вид:

Из условия Х(0) = 0 следует, что С₁ = 0.

Так как С₂ ≠ 0 и (иначе мы получим тривиальное решение Х(х) = 0), то для определения собственных чисел мы приходим к трансцендентному уравнению:

(2)

Полагая и обозначая , перепишем уравнение (2) в виде:

Это уравнение имеет бесчисленное множество корней µ_k, которые можно найти в специальных таблицах. Каждому корню µ_k соответствует собственное число и собственная функция .

После того, как собственные числа найдены, ищем соответствующие им функции Т_к. Получаем:

Коэффициенты а_k и b_k ищем из начальных условий:

Получаем b_k = 0.

Окончательное решение имеет вид:

Материал поступил в редколлегию 24.04.2017

УДК 519.111

В.К. Казаринова

Научный руководитель: доц. каф. «Высшая математика»,

к.ф.-м.н. М.Г.Башмакова

kazarinova.vicka@yandex.ru

Вывод формулы числа сочетаний с повторениями. Применение формулы

Объект исследования: формула комбинаторики для числа сочетаний с повторениями.

Результаты, полученные лично автором: рассмотрен способ построения форумы числа сочетаний с повторениями. Решены задачи, использующие данную формулу.

Сочетания с повторениями – это сочетание n объектов по k в предположении, что каждый объект может участвовать в сочетании несколько раз. Таким образом, сочетание с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что m>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Существует специальная формула для вычисления числа сочетаний с повторениями. Выведем эту формулу, используя пример. Пусть в кондитерском магазине продаются пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Если куплено 3 корзиночки (к), 1 наполеон (н), 2 песочных (п) и 1 эклер (э), то получим такую запись:111|1|11|1.

В этой записи палочки отделяют одну группу пирожных от другой. Если же куплено 2 корзиночки и 5 песочных, то получим запись 11||11111|. Ясно, что разным покупкам соответствуют при этом разные комбинации из 7 единиц и 3 палочек. Обратно, каждой комбинации единиц и палочек соответствует какая-то покупка. Например, комбинации |111|1111| соответствует покупка 3 наполеонов и 4 песочных (крайние группы отсутствуют).

В результате мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, т. е. k, а число палочек будет на 1 меньше, чем число типов предметов, т. е. n–1. Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из k единиц и n–1 палочек. Различным комбинациям при этом соответствуют различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация.

Итак, число сочетаний с повторениями из элементов n типов по k равно числу P(k, n–1) перестановок с повторениями из n–1 палочек и k единиц, то есть , поэтому

Рассмотрим задачу. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10? Ответ:

Материал поступил в редколлегию 24.04.2017

УДК 519.253

Е.В. Киселёва

Научный руководитель: доцент кафедры «Высшая математика»,

к.т.н. А.Г. Белоусов

lencka.kiseleva@yandex.ru