Оценка точности расчета прогибов прямоугольной тонкостенной пластины численными методами: модели и результаты

Объект исследования: точность расчета прогибов тонкостенной прямоугольной пластины численными методами: в программе конечно-элементного анализа Femap with NX Nastran и с помощью программного комплекса «Универсальный механизм».

Результаты, полученные лично автором: точность в среде Femap with NX Nastran зависит от размера конечного элемента, а в программном комплексе «Универсальный механизм» на результат влияют число используемых собственных форм и наличие интерфейсного узла в точке приложения силы. Было установлено, что число собственных форм не влияет на результат, если в точке приложении силы есть интерфейсный узел.

Моделирование динамики и статики упругих тел является актуальной задачей. При выводе уравнений движения упруго деформируемых тел применяется метод конечных элементов (МКЭ). Сложность расчетов зависит от размерности задачи. Для упрощения применяется модальный подход, в котором упругие перемещения представляются набором статических и собственных форм. Требуются дополнительные исследования - насколько правилен подобный подход. Целью моего исследования является точность расчета статики и динамики упругих тел. Достоверность результатов моделирования определяется их сопоставлением с известным аналитическим решением. К сожалению, очень мало задач имеют такое решение. Поэтому была выбрана прямоугольная тонкостенная пластина, свободно опертая по всем кромкам, с сосредоточенной силой, приложенной в центре. На первом этапе решается задача статики. Производится расчет прогиба с помощью программы конечно-элементного анализа и применяется модальный подход, реализованный в программном комплексе (ПК) «Универсальный механизм». Варьируемыми параметрами для МКЭ является размер КЭ; для модального подхода – наличие интерфейсного узла в точке приложения силы и число собственных форм.

Известное аналитическое решение имеет вид двойного тригонометрического ряда. Удерживая 100 членов, получен результат с точностью до трех знаков после запятой, при измерении в миллиметрах.

Исследование прогибов с использованием модального подхода выполняется в программном комплексе «Универсальный механизм». Суть модального подхода заключается в том, что узловые перемещения в локальной системе координат приближенно представляются произведением множества форм упругого тела, которые компонуются в матрицу, и перемножаются на модальные координаты. Наиболее эффективным себя зарекомендовал метод Крейга-Бэмптона, который в качестве упругих форм рассматриваем множество статических и собственных форм упругого тела. Условно его можно разделить на 4 этапа:

1. выбор интерфейсных (внешних) узлов (ИУ) конечно-элементной схемы;

2. последовательный расчет набора статических форм, представляющих собой формы деформации от единичного смещения в направлении одной из степеней свободы в интерфейсных узлах при закрепленных остальных;

3. расчета набора собственных форм при закрепленных интерфейсных узлах;

4. преобразование форм для исключения твердотельного движения относительно локальной системы координат.

Прогиб определяется путем интегрирования уравнения движения.

Рассматривается два варианта модели: с интерфейсным узлом в точке приложения силы и без него. Но далеко не всегда удается поместить интерфейсный узел в точке приложения силы, поэтому необходимо оценить, сколько собственных форм брать для точного результата. Для ПК «Универсальный механизм» брались модели с 10, 20 и 50 собственными формами. Было установлено, что число собственных форм не влияет на результат, если в точке приложении силы есть интерфейсный узел.

Таблица 1

Метод решения	Размер, см	Прогиб, мм	Погрешность, %
Аналитический		8,592
Femap with NX Nastran	5	8,635	0,5
	10	8,701	1,3
	25	8,916	3,8
	50	9,689	12,8
ПК «Универсальный механизм»	5	8,635	0,5
	10	8,701	1,3
	25	8,916	3,8
	50	9,689	12,8

Было получено аналитическое решение, представлен результат зависимости погрешности от размера кэ.

При уменьшении размера кэ результат стремится к точному, при наличии ИУ в точке приложения силы мы получаем результат с такой же точность, как и в полной конечно элементной модели.

Таблица 2

Метод решения	Прогиб, мм	Погрешность, %
Femap with NX Nastran	8,701
ПК «Универсальный механизм» (без интерфейсного узла)
10 форм	8,288	4,7
20 форм	8,493	2,4
50 форм	8,621	0,9

Довольно много нужно форм для получения точного результата.

Материал поступил в редколлегию 17.04.2017

УДК 620.10

Г.С. Емельяненко

Научный руководитель: доцент кафедры «Механика и динамика и прочность машин», к.т.н., Ю.И. Попова

grishaforsteam@yandex.ru