4.11. План проведения пфэ 23

Номер опыта N	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	y1
1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	y1
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	y2
3	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	y3
4	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	y4
5	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	y5
6	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	y6
7	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	y7
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+!	y8

Коэффициенты уравнения регрессии вычисляют по формулам

Любой коэффициент уравнения регрессии определяется сум- мированием скалярных произведений значений столбца у_i на соответствующие значения столбца x_i, и делением на число опытов в матрице планирования N, Например, для нахождения коэффициента b₁ при х₁ для условий задачи табл. 4.11 необхо- димо получить сумму восьми произведений х₁у_j и разделить на 8. Также рассчитывают коэффициенты b₁₂, b₁₃ и b₂₃ (эффекты парного взаимодействия).

Чтобы установить, значим коэффициент или нет, вычисляют оценку дисперсии коэффициентов, предварительно рассчитав оценку дисперсии воспроизводимости , как это указано в табл. 4.3. Тогда

Считают, что коэффициент значим, если выполнено условие

где t — значение критерия Стьюдента (см. табл. 4.1).

В противном случае коэффициент незначим и соответствую- щий член исключают из уравнения. Уравнение, состоящее из оставшихся членов, может адекватно (достаточно хорошо) описывать поверхность отклика, но может быть и неадекватным. Для проверки находят оценку дисперсии адекватности по формуле

где В — число коэффициентов окончательного уравнения рег- рессии; y_j и — экспериментальное и расчетное значения функции отклика в j-м опыте; число степеней свободы f = N — В.

Проверку производят по критерию Фишера (см. табл. 4.6),

Если F_pF, уравнение регрессии считается адекватным. Тогда дают смысловую интерпретацию полученных результатов, а само уравнение выражают в натуральных величинах и используют в качестве интерполяционного.

В случаях, когда представляется возможным ограничиться линейным приближением, число опытов N можно сократить за счет использования дробного факторного эксперимента (ДФЭ), представляющего собой дробную реплику от ПФЭ. Матрицу планирования ПФЭ разделяют на две части, называемые полурепликами. Эксперимент обозначают символом ДФЭ 2^k-1, где N = 2^k-1. При большом числе факторов матрица планиро- вания может быть разделена на реплики большей кратности, например 2^5-2 или 2^5-3, что существенно сокращает эксперимент для построения и вычисления коэффициентов модели.

Полученные модели могут использоваться для оптимизации изучаемого способа или разрабатываемой рецептуры. Оптими- зация представляет собой целенаправленный поиск значений факторов, доставляющих экстремум критерия оптимальности с учетом ограничений, наложенных как на факторы, так и на функции отклика. Алгоритмы целенаправленного поиска до- статочно разнообразны: метод крутого восхождения, симплек- сный метод и др. В частном случае критерием оптимальности может служить одна из функций отклика.

Для решения задачи оптимизации с несколькими откликами используют в качестве критерия обобщенную функцию же- лательности d. Измеренные значения откликов преобразуют в безразмерную шкалу желательности, которая устанавливает

Рис. 4.9. Функция желательности для заданного значения y_min<y<y_max

соотношение между численными значениями функции отклика и субъективным отношением исследователей (потребителей или экспертов) к их значимости. Приведенные на рис. 4.9 базовые отметки шкалы желательности взяты из книги [2]. Шкала желательности построена в пределах от нуля до единицы. Значение d = 0 соответствует абсолютно неприемлемому зна- чению данного отклика, a d=1 — самому лучшему значению, причем дальнейшее улучшение его или невозможно или не пред- ставляет интереса.

Любой отклик может быть преобразован так, чтобы его можно было интерпретировать в терминах желательности. Имея несколько откликов, преобразованных в шкалу d, можно их обобщить в виде среднего геометрического — обобщенной функ- ции желательности

Если какое-либо одно значение неприемлемо и d_i = 0, то D также равняется 0. Обычно d задают в пределах 0,2<d<0,8. Функцию D можно использовать в качестве критерия опти- мальности.

В заключение отметим, что методы математической обработки экспериментальных данных, особенно в многофакторном экспе- рименте, требуют больших затрат времени на вычислительные процедуры. По этой причине и для исключения механических ошибок их лучше выполнять на ЭВМ. Как правило, у многих вычислительных машин имеется широкое математическое обес- печение в виде пакета прикладных программ, включающих программы дисперсионного и регрессионного анализа. Исследо- вателю не обязательно знать подробности схемы расчета, но он должен владеть методикой построения математической модели, планирования эксперимента, знать основные принципы анали-