9. Измерение и отмеривание величин с помощью промежуточной мерки. Умножение чисел

В этом разделе рассматривается предметный способ действия с величинами, на котором основаны арифметические действия умножения и деления чисел. Этот способ действия становится необходимым, когда мерка оказывается значительно меньше измеряемой величины и ее прямое использование крайне неудобно. В этих условиях нужно перейти к более крупной мерке, которая, однако, изна­чально не задана и которую еще нужно построить.

9.1. Постановка задачи использования промежуточной мерки. Способы вычисления в случаях вида 57 + 25

(Задания 34-35)

Материал вводится при работе с реальными величинами без обращения к учеб­нику. У" детей должен быть набор бумаг (разного цвета для удобства формули­ровки задания): 1,5 х 1,5; б х 15; 3 х 7; 3 х 8 см.

При выполнении первого задания учащимся напоминается следующее:

а) для того чтобы у измерителя и отмеривателя получились объекты, равные по заданному признаку, им нужно выполнить измерение одинаковой меркой;

б) результаты измерения можно записать в виде стрелочной схемы.

Учитель объявляет, что сегодня вернемся к измерению и отмериванию. Он по­казывает прямоугольник и просит учащихся вырезать из материалов, имеющихся на парте, прямоугольник такой же площади С (3 х 4,5 см). Очевидно, дети попро­сят произвести измерение площади образца. Учитель производит какие-то дейст­вия и сообщает, что измерение выполнено. Дети требуют назвать число. Учитель делает на доске запись:

6

Е→С

Напоминается содержание этой записи: мерка Е поместилась в площади С б раз. Учитель требует выполнения работы. Но оказывается, чтобы у всех полу­чилась фигура одинаковой площади, нужно, чтобы все использовали одинаковую мерку. Учитель показывает маленький квадрат (1,5x1,5 см), такой же квадрат есть на партах у детей. Площадь этой мерки Е.

Учащиеся выполняют практическую работу. (Удобным размером исходного прямоугольника на партах может быть такой, когда придется отрезать или отги­бать излишек только с одной стороны, например прямоугольник 3 х 7 см.) Отме­чается, что такие задания выполняли и раньше и новое не представляет труд­ности.

Теперь нужно отмерить новую площадь А. Показывается прямоугольник б * 12 см. У детей на партах имеются прямоугольники 6 * 15 см. Учащиеся пред­лагают учителю произвести измерение площади своей фигуры. Учитель сообща­ет, что воспользуется той же меркой Е, с которой работали при выполнении про­шлого задания. На доске делается заготовка для записи: Е —* А. Учитель начина­ет измерение, прикрепив фигуру-образец к доске. Он делает пометки, жалуясь, что неудобно работать с такой маленькой меркой, роняет мерку, продолжает ра­боту, «забывает», сколько мерок уже отмерено, наконец, «отчаявшись», сожалеет, что была взята такая маленькая мерка, — ведь известно, что большой меркой ра­ботать удобнее. На столе он берет новый прямоугольник (3 * б см), выполняет измерение и сообщает число — 4. Это число нельзя вписать в заготовку схемы. Делается новая запись: Р -" А. Над стрелкой записывается число 4.

Однако такое измерение не помогает классу — у детей нет мерки Р. Правда, у них имеется прямоугольник 3 * 8 см. Учитель примеряет его к своей мерке Р — они неравны (мерка Р меньше). Неужели придется все же вернуться к малень­кой мерке?! Хорошо бы сделать большую мерку Р\ Но как? Учитель еще раз под­черкивает, что у него и у детей есть одинаковая маленькая мерка, а хочется ра­ботать большой меркой.

Возможно, кто-то догадается предложить учителю померить маленькой меркой большую, сообщить классу число, и тогда можно будет сделать такую же боль­шую мерку на партах. Учитель производит измерение и делает запись:

8

Е → Р

Ученики приступают к изготовлению мерки Р с помощью мерки £.

Затем с помощью мерки Р отмеривается площадь А.

Учитель предлагает показать в схеме на доске способ работы и начинает рас­суждение. Была мерка Е, и нужно было отмерить с ее помощью площадь А (по ходу делается запись: Е -* А). Но так измерять оказалось затруднительно, и мы пошли в обход: с помощью мерки £ построили новую, вспомогательную мерку Р, запишем, число 8, которое нам помогло это сделать. Наконец отмерили площадь А с помощью этой новой мерки и числа 4. По ходу этого рассуждения появляет­ся схема:

Предлагается называть исходную мерку основной, а большую — промежу­точной.

Отмечается, что такой способ действия использовался впервые и что он ока­зался удобным, когда мерка слишком мала.

34 При закрытых учебниках в ходе устного счета типа 67 + 8 предлагается найти сумму чисел 47 + 38, которая записана на доске. Возникнет затрудне­ние. Выясняется, чем отличается этот случай от тех, которые только что решались устно. Как действовать в таких ситуациях? Возможно, учащиеся предложат мысленно выполнять те операции, которые производятся при сложении столби­ком. Нужно согласиться с этим, но указать, что действия начиная с младших раз­рядов бывают неудобны при записи в строку. Учащиеся дают другие варианты решения. Важно, чтобы была упомянута возможность прибавления числа по час­тям.

Открывается учебник. По способу разложения числа на части учащиеся конст­руируют возможный порядок вычислений и записывают его.

Полезно, чтобы были найдены и другие варианты действия, например когда к первому числу прибавляются сначала единицы из второго числа, а потом де­сятки.

Затем определяется наиболее удобный способ. Возможно, у каждого он будет свой. Учитель предлагает записать одним выражением способ, указанный в зада­нии вторым.

35 Предлагается выполнить вычисления только что выделенным способом и описать его одним выражением. Под нужным слагаемым записываются его части, составляется выражение, под первым действием которого подписывается его ре­зультат. Определяется конечный ответ.