Визначення очікуваної дохідності і ризику портфеля

Очікуваний дохід портфеля залежить від очікуваної дохідності кожного цінного папера, що міститься в портфелі та його питомої ваги в портфелі. Формула очікуваної дохідності портфеля з двох цінних паперів має такий вигляд:

E (R_p) = W₁E (R_i) + W₂E (R_j),

де E (R_p) — очікуваний дохід портфеля;

W_i і W_j — питома вага цінних паперів у портфелі (W — Weight — вага) за умови, що W_i + W_j = 1;

E (R_i), E (R_i) — очікувані дохідності цінних паперів у портфелі.

Припустимо, що в портфелі дві акції i і j із такими показниками:

Акція	Очікувана дохідність	Питома вага
i	0,78	0,7
j	0,58	0,3

Тоді:

E (R_p) = 0,78 (0,7) + 0,58 (0,3) = 0,72 = 7,2 %.

Ризик портфеля залежить від питомої ваги кожного цінного папера в портфелі і коваріації їхніх доходів. Формула визначення варіації (мінливості) портфеля:

,

де — варіація портфеля (вимір ризику); W_i і W_j — питома вага кожного цінного папера в портфелі; и — варіації (коливання) доходів цінних паперів; _ij — коваріація доходів двох цінних паперів; 2 — коефіцієнт.

Використовуємо ті самі дані, що й в обчисленні очікуваного доходу. Додатково нам треба визначити показник коваріації _ij за формулою:

,

де Т — число періодів, використовуваних для визначення коваріації.

1) Визначаємо стандартне відхилення для кожного цінного папера в кожному році:

Рік	Акція i					Акція j
	Дохід	—	Середня	=	Відхилення від середньої	Дохід	—	Середня	=	Відхилення від середньої
1	0,18	—	0,078	=	–0,102	0,14	—	0,058	=	–0,082
2	0,15	—	0,078	=	–0,072	0,09	—	0,058	=	–0,032
3	–0,13	—	0,078	=	–0,208	0,02	—	0,058	=	–0,038
4	0,5	—	0,078	=	–0,028	–0,03	—	0,058	=	–0,088
5	0,14	—	0,078	=	–0,062	0,07	—	0,058	=	–0,012

2) Визначаємо коваріацію (множимо відхилення від середньої за акцією i на відхилення від середньої за акцією j):

Рік	Акція i		Акція j
1	–0,102		–0,082	=	0,0084
2	–0,072		–0,032	=	0,0023
3	–0,208		–0,038	=	0,0079
4	–0,028		–0,088	=	0,0025
5	–0,062		–0,012	=	0,0007
					0,218

3) Визначаємо показник коваріації за п’ятирічний період:

.

4) Визначаємо варіацію (мінливість) портфеля:

.

5) Визначаємо стандартне відхилення портфельного доходу (тобто його ризик):

.

Можливий другий варіант розв’язання задачі.

Для визначення ризику можна використовувати не тільки показник коваріації, а й коефіцієнт кореляції, що між собою тісно пов’язані.

1) Визначаємо _i і _j:

, .

2) Визначаємо коефіцієнт кореляції за формулою:

.

3) Вносимо зміни у формулу і визначаємо варіацію портфеля:

= (0,7)²(0,0127) + (0,3)²(0,0034) + 2(0,7)(0,3)(0,6708)(0,1127)(0,0583) =

= 0,00622 + 0,000306 + 0,00185 = 0,0084.

Коефіцієнт кореляції являє собою розщеплену по суті зважену коваріацію. Це означає, що коефіцієнт кореляції коливається від +1 до –1. Якщо коефіцієнт кореляції більше 0, то це означає, що дві змінні (у даному випадку доходи за двома акціями) змінюються в одному напрямку. Портфельний ризик буде залежати від ризику кожної акції окремо і питомої ваги кожної акції в портфелі. Чим менша тіснота зв’язку між рухом доходів від акцій, тим нижчий можливий ризик. У випадку, коли коефіцієнт становить –1, рух доходів за акціями відбувається у різних напрямках. Інвестор звичайно прагне створити портфель із нульовою варіацією через регулювання питомими вагами акцій.

Дохідність і ризик портфеля з множиною цінних паперів визначаються за формулами:

,

,

де n — число цінних паперів у портфелі.

Отже, математично дохід і ризик визначаються за тими самими рівняннями, що й у портфелі з двома змінними, змінюється тільки число цінних паперів (n).