§ 125. Интегральная интенсивность

Формулы, полученные в предыдущем параграфе, определяют интенсивность дифракции при падении на кристалл строго моно­хроматической и строго плоской волны. Рассмотрим теперь ряд случаев, в которых эти условия не выполнены.

Начнем со случая, когда падающая волна является плоской, но не монохроматической¹). Другими словами, ее спектральное разложение содержит волны с волновыми векторами к, одина­ковыми по направлениям, но различными по величине /г = со/с. Обозначим посредством p(k) плотность распределения интенсив­ности падающего излучения по частотам, нормированную на еди­ницу условием ^ p(k)dk=l.

Полная интенсивность дифракционного пятна определяется сечением, получающимся интегрированием выражения (124,13) по do' и по р (k) dk:

^{а =} Т (Й)^{21 пь |2} И11 ^е~'⁽"'"^к~^Ь,ГdV Г (¹ + ^{cos2 й}) Р (^k)^do'^dk- ' (125,1)

^х) Этот случай соответствует известному методу Лауэ рентгеноструктур-:юго анализа кристаллов.

Введем временно обозначение К = к'—к— b и напишем квад­рат модуля в виде двойного интеграла:

^{| J e-'K'dvf = 55 eW'-^dV^dVt.}

Введя вместо г_х и г₂ переменные ¹U(r_i-\-r.₂) и г = г₂ — г_х и про­изведя интегрирование по первым по объему тела, получим

| J _e<Kr_di/|² ₌ i/ JgtKr _ау.

В оставшемся интеграле можно теперь производить интегриро­вание по всем переменным в бесконечных пределах¹), в резуль­тате чего находим

^{| J e'Kr dV |2 = (2л):! V8 (К). (125,2)}

Подставив этот результат в формулу (125,1), переписываем по­следнюю в виде

^{о= 4л3 \n}_k^{\-V{\+cos°-\) J5 б (к' — к — Ъ) р {k)do'dk;}

(125,3)

ввиду наличия б-функции в подынтегральном выражении мы вынесли множитель l+cos²\>, заменив его значением при •& = f}₀, где •&„ — угол между векторами к и к', удовлетворяющими усло­виям Лауэ (обозначим их как к₀ и ko = k₀-f-b).

Интегрирование по do' удобно произвести, заметив, что оно эквивалентно интегрированию по

d'k' = k'4k'do' = \/₂ k'd (k'²) do'

при условии введения в подынтегральное выражение дополни­тельного множителя (2:k)8(k'- — k'¹). Таким образом, интеграл в (125,3) заменяется иа

^ 1 б (к' — к — Ь) б (/г'² — /г²) р (k) d'k'dk.

Произведя интегрирование по d'k' с помощью первой б-функции, мы должны заменить во второй k'² на (k + b)², в результате чего получаем

а = (2*у ¹1 п_ь\²V(\+ cos² {}₀) j 1 б (2bk + b²) р (fe) dfe. (125,4)

Наконец, произведем последнее интегрирование по dk (при заданном направлении n = k,k). Аргумент б-функции обращается в нуль при k = k_g, и интеграл равен

р (*о) 1 P(fep) ₌pfe)

2Л_и Jbn) 2 I bk₀ I b² '

^x) Это можно сделать постольку, поскольку мы имеем целью вычислить лишь полную интенсивность дифракционного пятна, а не его ширину.

Таким образом, получаем окончательно:

а = (2л)³ ( | я_ь |⁹⁷ V (1 + cos⁹⁸ ^ £^1. ₍₁₂₅,5)

Рассмотрим теперь другой случай, в котором падающая волна монохроматична, но содержит компоненты с различными направ­лениями к, получающимися друг из друга вращением вокруг некоторой оси¹). Единичный вектор вдоль направления последней обозначим посредством 1, а угол поворота вокруг нее посред­ством яь. Функция р (\{?) пусть дает распределение интенсивности падающего излучения по углам, нормированное на единицу:

2я

⁵ _P^(ii>)dib=i.

о

Все вычисления, приведшие к формуле (125,4), полностью от­носятся и к этому случаю, с той лишь разницей, что интегри­рование по p(k)dk надо заменить интегрированием по p(ty)dty:

а = (2я)³ (J^⁹⁹1 я_ь |* V (1 + cos4_Q) J| 6 (2bk + b¹⁰⁰) р (rp) йф. (125,6)

Снова обозначим посредством к₀ значение к, для которого обра­щается в нуль аргумент б-функции, и будем отсчитывать от плоскости 1, к₀. Для малых ib имеем

к= к₀ + [1к₀]гр.

Тогда интеграл в (125,6) принимает вид

Р(0) ²P(°>^sin2Y

[1б(2Ь[1к_п]г_|,)_Р(^)^=~_п£^-

_k ^„_L..v_njTyf,_VY/^_Y 2fc|b[lk₀]J 2В | b [ln₀J I ~~ b¹⁰¹ I b [ln₀ Таким образом,

.2M^V.i„i*»₍li_mcU^. ui/_P(0)

sln^Cl+cos-^lnbl^T^jj-. (125,7)

Наконец, рассмотрим дифракцию монохроматической плоской волны от тела, представляющего собой совокупность хаотически ориентированных кристалликов ¹⁰²).

*) Этот случай соответствует известному методу Брэгга (или методу вращения) рентгеноструктурного анализа, причем фактически речь идет не' о повороте направления к, а о вращении самого кристалла вокруг оси 1.

Обозначим посредством к, и Ь₀ векторы к' и Ь, направленные так, чтобы удовлетворялось условие Лауэ kg = k-fb₀. Направ-