§ 76. Электродинамика движущихся диэлектриков

Движение среды приводит к возникновению явлений взаим­ного влияния электрических и магнитных полей. Для проводни­ков эти явления были рассмотрены в § 63, теперь же мы обра­тимся к изучению этого вопроса для диэлектриков. При этом фактически идет речь о явлениях, возникающих в движущихся телах при наличии внешнего электрического или магнитного полей. Подчеркнем, что они не имеют ничего общего с явлениями воз­никновения полей в результате самого движения тел (которые рассматривались в §§ 36, 64).

Отправным пунктом в § 63 являлись формулы преобразования поля при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом нам было достаточно знать обычные формулы преобразования электрической и магнитной напряженности поля в пустоте, усред­нение которых непосредственно дает формулы преобразования Е и В. В диэлектриках вопрос значительно более сложен, в связи с наличием большего числа величин, описывающих электромаг­нитное поле.

При движении макроскопических тел речь идет обычно о ско­ростях, малых по сравнению со скоростью света. Однако получить соответствующие приближенные формулы преобразования проще всего на основе точных релятивистских формул, справедливых при любых скоростях.

Как известно, в электродинамике поля в пустоте компоненты векторов е и h электрической и магнитной напряженности в дей­ствительности являются компонентами антисимметрического четы­рехмерного тензора (4-тензора) второго ранга (см. II § 23). По­скольку Е и В являются средними значениями е и h, то же самое отнссится и к ним. Таким образом, имеется 4-тензор F^, со сле­дующими компонентами¹):

div В = 0, rotE = -^г

' с dt

(76,2)

может быть написана в четырехмерном виде как dF^y. _] dF^y 3F_V}. -

(76,3)

^x) В этом параграфе четырехмерные тензорные индексы, пробегающие зна­чения 0, 1,2, 3, обозначаются греческими буквами Я, р, v.

Тем самым выявляется релятивистская инвариантность этих урав­нений. Подчеркнем, что сама по себе применимость уравнений (76,2) к движущимся телам очевидна, поскольку эти уравнения получаются непосредственно путем замены е и h в точных мик­роскопических уравнениях Максвелла их усредненными значе­ниями Е и В.

Но и вторая пара уравнений Максвелла,

divD = 0, rotH=-^?,

с dt

(76,4)

тоже сохраняет свой формальный вид и в движущихся средах. Это очевидно из приведенных в предыдущем параграфе рассуж­дений, в которых были использованы лишь такие общие свой­ства тел (например, равенство нулю полного заряда), которыми движущиеся тела обладают в той же степени, как и неподвиж­ные. При этом, однако, связи величин D и В с величинами Е и Н уже отнюдь не должны совпадать с теми, которые имеют место в неподвижных средах.

Будучи справедливыми как для неподвижных, так и для дви­жущихся тел, уравнения (76,4) должны сохранять свой вид при преобразовании Лоренца. Для поля в пустоте векторы D и Н совпадают с Е и В и релятивистская инвариантность второй пары уравнений Максвелла проявляется в том, что и они могут быть написаны в четырехмерном виде с помощью того же тензора F^: dF^/dx^ = 0 (см. II § 30). Поэтому ясно, что для обеспечения релятивистской инвариантности уравнений (76,4) необходимо, чтобы компоненты векторов D и Н в действительности преобра­зовывались как компоненты 4-тензора, построенного аналогично тензору F_uv; обозначим этот тензор как Н^:

(76,5)

С его помощью уравнения (76,4) записываются в виде

Выяснив четырехмерный тензорный характер величин Е, D, Н, В, мы тем самым узнали закон их преобразования при пере­ходе от одной системы отсчета к другой. Нас, однако, интере­сует здесь не столько закон этого преобразования, сколько связь между этими величинами в движущейся среде, обобщающая соот­ношения D = eE и В = рН, справедливые в неподвижных телах.

Обозначим посредством 4-вектор скорости среды; его ком­поненты связаны с трехмерной скоростью v посредством

V V\—v²/c² ' c'V\—v²lc² j

Составим из этого 4-вектора и 4-тензоров F^^v и №^v такие ком­бинации, которые в неподвижной среде переходят в Е и D. Тако­выми являются 4-векторы F^'u^, Н^и^, при v = 0 их временные компоненты обращаются в нуль, а пространственные—соответст­венно в Е и D. Поэтому ясно, что четырехмерным обобщением равенства D = еЕ является^г)

= e/^iv (76,7)

Аналогичным образом убеждаемся в том, что обобщением соотношения В = цН является четырехмерное равенство

F^u_v + F^u_h + F_vkU)x = p. (H_Kiiu_v + H^u_x + #_vJ,w J. (76,8)

Переходя от четырехмерных обозначений снова к трехмерным величинам, получим из этих двух уравнений векторные соотно­шения ²):

D+|[vH] = e(E + |[vB]),

1 1 \ (⁷⁶'⁹)

B + |[Ev]=p.(H + i[Dv]).

Эти формулы, полученные Минковским (Н. Minkowski, 1908), яв­ляются точными в том смысле, что еще не сделано никаких пред­положений о величине скорости. Считая же отношение vie малым и решая эти уравнения относительно D и В с точностью до чле­нов первого порядка, получим

D=eE+££p![vH], (76,10)

B = pH + ^ei^[Ev]. (76,11)

Эти формулы, вместе с уравнениями Максвелла (76,2) и (76,4), составляют основу электродинамики движущихся диэлектриков.

Граничные условия к уравнениям Максвелла тоже претерпе­вают некоторое изменение. Из уравнений divD = 0, divB = 0 по-прежнему следуют условия непрерывности нормальных компо­нент индукции:

D_nl=D_n2, В_п1=В_п2. (76,12)

¹) Следует заметить, что, написав соотношения, содержащие лишь мест- ное значение скорости, мы тем самым пренебрегаем слабыми эффектами, свя- занными с возможностью существования градиента скорости (например, гиро- магнитными эффектами; см. § 36).

²) Если какое-либо из соотношений D = eE или В = р.Н в неподвижной среде не имеет места, то и соответствующее из соотношений (76,9) заменяется другой функциональной зависимостью между двумя векторными суммами, стоя- щими в обеих сторонах равенства.

Условия же для тангенциальных компонент поля проще всего можно получить путем перехода от неподвижной системы от­счета К к новой системе К', движущейся вместе с данным эле­ментом поверхности тела; скорость последнего (направленную вдоль нормали п) обозначим как v_n. В системе К' справедливы обычные условия непрерывности E'_t и HJ. Согласно релятивист­ским формулам преобразования (см. II § 24), эти требования эквивалентны условию непрерывности тангенциальных компонент векторов

E + l[vB], H-l[vD].

Проецируя их на плоскость, перпендикулярную к п, и учитывая равенства (76,12), получим искомые граничные условия:

[n, E_i-E_i]^^vf(b_t-b_l),

(76,13)

[n, H₂-H₁] = -^(D₂-D₁).

Если подставить сюда выражения (76,10—11) и пренебречь членами высшего порядка по v/c, то мы получим

[n, Е₂ — Е_х] = ^(р₂—p_x)H_f,

(76,14)

[п, Н₂-Н,]-=-^(е₂-е₁)Е₍.

В этом приближении в правой стороне равенств можно не раз­личать значения Н и Е на обеих сторонах поверхности раздела.

Если тело движется так, что его поверхность не смещается в перпендикулярном к самой себе направлении (например, при поворачивании тела вращения вокруг оси), то v_n = 0. Только в этом случае граничные условия (76,13) или (76,14) сводятся к обыч­ным условиям непрерывности E_t и H_f.

Задачи

1. Диэлектрический шар равномерно вращается (в пустоте) в однородном постоянном магнитном поле Определить возникающее вокруг шара элект­рическое поле.

Решение. При вычислении возникающего электрического поля маг­нитное поле надо принимать таким же, как при неподвижном шаре, так как учет обратного влияния изменения магнитного поля привел бы к поправкам более высокого порядка малости. Внутри шара магнитное поле однородно и равно

(ср. (8,2)).

<«>-

Ввиду стационарности вращения возникающее электрическое поле по­стоянно и, как всякое постоянное электрическое поле, обладает потенциалом: Е = — уф. Вне шара потенциал удовлетворяет уравнению Аф^'= 0, а внутри шара — уравнению

ДФ

се

, вц—1

ЙН«>, (1)

(2)

где й— угловая скорость вращения (это уравнение получается из divD = 0 подстановкой для D выражения (76,10) с v= [йг]). Условие непрерывности нормальной составляющей D на поверхности шара гласит:

■ ^ ' ^6,1 — a {QH<'>— (Qn) (Н«>п)}

^{— 8} л дг

(а — радиус шара, п — единичный вектор в направлении г).

Ввиду симметрии шара искомое электрическое поле определяется всего двумя постоянными векторами: й и Из их компонент можно составить линейным по jg> и й образом скаляр фй и тензор

2

с равной нулю суммой диагональных членов. Соответственно этому ищем потенциал поля вне шара в виде

где Dili — постоянный тензор (причем Оц = 0); есть тензор квадруполь-ного электрического момента шара (см. II § 41). Члена же вида const/л в ф*^е) не может быть, так как он давал бы отличный от нуля полный поток элект­рического поля через поверхность, охватывающую шар (между тем как шар не заряжен). Потенциал поля внутри шара ищем в виде

_Ф<"=^0_/да₆+^' ЙН«> (г²-а²). (4)

Первый член есть решение однородного уравнения Дф=0, а выбор коэффи­циента в нем обеспечивает непрерывность потенциала (а тем самым и E_f) на поверхности шара. Подставляя (3) и (4) в (2), найдем

^Д» ⁼ -Т(3 + 5р+0 (*А + *Л-|«/*°)- (5)

Таким образом, вокруг вращающегося шара возникает электрическое поле квадрупольного характера, причем квадрупольный момент шара дается фор­мулой (5). В частности, если шар вращается вокруг направления внешнего поля (ось ?), то имеет лишь диагональные компоненты

_ а⁵ 4 (е[а— 1) _ _ 1

^U"~~T (3 + 2s.)(2 + _v.)^"' ^D**-^Dvv— Y^Dzz-

Аналогично, вокруг шара, вращающегося в однородном электрическом поле, возникает квадрупольное магнитное поле. Квадрупольный магнитный момент шара дается при этом формулой, получающейся из (5) изменением знака и заменой е, р., ф соответственно на |л, е, <S>

2. Намагниченный шар равномерно вращается (в пустоте) вокруг своей оси, параллельной направлению намагничения. Определить возникающее вокруг шара электрическое поле¹).

') Если направления намагниченности и оси вращения не совпадают, то постановка задачи существенно меняется, так как возникает излучение элект­ромагнитных волн от шара в окружающее пространство.

Решение. Магнитное поле внутри шара однородно н выражается через постоянную намагниченность Мсогласно уравнениям В⁽'' + 2Н⁽'^,=-0 (ср. (8,1)) и В«'> —Н«'» = 4яМ, откуда

_в(/)_8яМ _н,„__4яМ

з • 3 ^-

Вторая из формул (76,9) в данном случае не имеет места (ввиду несправед­ливости формулы В = |лН для неподвижного ферромагнетика), а из первой имеем внутри шара

D ₌ eE₊i-[vB]-l[vH] ₌ eE₊^4jt(2₃⁸+ ¹⁾[vM].

Потенциал возникающего электрического поля вне шара удовлетворяет урав­нению Дф^1е, = 0, а внутри шара

. ,,, 8я (2е+1) ....

Дф(') ₌ }- !—I Mil.

оС8

Граничное условие непрерывности D_n на поверхности шара:

дг

ЭфС» . 4л(2е+1) . ,„ <Эф<^е»

■ ^т— А ^—А—-aQMsm²Q = 4—

г-а Зс дг

Ф¹'* в виде

f'=^4 (Зсоз'б-!),

где 6 — угол между нормалью п н направлением й и М (ось г). Ищем ф^(г) и 2г³ 4г³

„,«4=^1 д (3cos²0—1)+^4я(2_п^{8+ 1}} MQ(r² — а²) 4а° ^у ' 9с8

н нз граничного условия получаем следующее выражение для квадрупольного электрического момента, возникающего у вращающегося шара:

(<М — полный магнитный момент шара). Для металлического шара надо поло­жить е —> оо и тогда

4

^J"-~lc~