§ 38. Магнитные классы и пространственные группы

Покажем, каким образом фактически строятся магнитные группы симметрии; начнем с магнитных классов.

Как уже указывалось в предыдущем параграфе, магнитные классы можно разделить на три типа. К типу I относятся 32 обычных кристаллических класса, не содержащих элемента R вовсе. К типу II относятся те же 32 класса, дополненных эле­ментом R. Каждый такой класс содержит все элементы обыч­ного класса (точечной группы О), а также все эти же элементы, умноженные на R; обозначив магнитный класс символом М, можно написать

M = G + RQ (38,1)

(преобразование R, разумеется, коммутативно со всеми простран­ственными поворотами и отражениями; поэтому RG = GR, где G — любой элемент группы О).

Эти два типа классов являются, в известном смысле, три­виальными. К нетривиальному типу III относятся 58 магнитных классов, в которые элемент R входит только в комбинациях с поворотами или отражениями. Каждый из них, если заменить в нем операцию R тождественным преобразованием, переходит в один из обычных кристаллических классов О. Построение всех магнитных классов этого типа осуществляется на основании сле­дующих соображений.

Обозначим символом Н совокупность элементов группы О, которые остаются (при построении магнитного класса М) не умно­женными на R. По самому определению такой совокупности, она содержит единичный элемент Е (в противном случае М со­держала бы элемент R сам по себе, т. е. относилась бы к типу II), а произведения любой пары ее элементов дают элементы той же совокупности. Другими словами, Н есть подгруппа группы G.

Все остальные элементы группы О входят в М умноженными на R; поскольку R- = E, то все попарные произведения этих элементов группы являются элементами группы Н. Отсюда сле­дует, что Н—подгруппа группы О (и тем самым группы М) индекса 2¹). Другими словами, структура магнитного класса М типа III может быть представлена в виде

M=H+RG,H, (38,2)

где G, — какой-либо элемент группы G, не входящий в И. Оче­видно, что группа М и группа Q^=H-\-G_xH изоморфны.

Таким образом, задача о построении всех магнитных классов сводится к нахождению подгрупп индекса 2 всех кристалличе­ских классов. В свою очередь, последняя задача легко решается с помощью таблиц характеров неприводимых представлений то­чечных групп. Каждое неединичное одномерное представление группы содержит равное число характеров +1 и —1; элементы с характерами +1 составляют подгруппу индекса 2. При пере­ходе к магнитному классу эти элементы остаются неизменными, а все остальные умножаются на R.

Проиллюстрируем эту процедуру на примере точечной группы C_iv. Таблица характеров ее неприводимых представлений (см. III § 95):

	Е	с2	2С,	2av	2а-:,
	1	1	1	1	1
А 2	1	1	1	— 1	— 1
Вх	1	1	— 1	1	—1
Вг	1	1	— 1	— 1	1
Е	2	—2	0	0	0

Неединичные одномерные представления: А₂, В_г, В₂. В пред­ставлении А₂ элементы с характерами +1 [образуют подгруппу с₄. Соответствующий магнитный класс, который обозначим сим­волом C_iv (с₄) составлен из элементов

Е, С₂, 2С₄, 2Ro_v, 2Ro'_v.

В представлениях В_}, B._z элементы с характерами +1 образуют подгруппы C.,_v, отличающиеся лишь расположением плоскостей o_v по отношению к фиксированной системе координат. Эти под-

^х) Это значит, что подгруппа Н содержит вдвое меньше элементов, чем группа G. Указанное утверждение —следствие общей довольно очевидной тео­ремы: подгруппа Н группы О имеет индекс 2, если и только если произведе­ние любых двух элементов группы G, не входящих в Я, есть элемент из Н.

группы кристаллографически неразличимы, и им отвечает один и тот же магнитный класс C_iv (C_2v) с элементами

Е, С₂, 2RC_it 2a_v, 2Ro;.

Перебрав таким образом все 32 кристаллических класса, по­лучим 58 магнитных классов типа III, перечисленных в табл. 1. Каждый класс G (Н) определяется исходной точечной группой G и ее подгруппой Н—одной из перечисленных в скобках после символа группы О. Кристаллические классы С_х, С₃, Т не имеют

Таблица 1. Магнитные классы

С,- (С4)	Сз» (Сз/
Cs (С,)	#3 (Cs)
С2 (CJ	Dsd(D3, Se, C3V)
Са» Cs)	C?.h (C3)
^2V (Cs>	C6 (C3)
D2 (C2)	#з/г (C3ft, C3t), Di)
p2h (D2, C2fi, Civ)	Cgh (Ce, S6, С3/г)
C4 (Ct)	Cev (Ce> Сзц) #e (C„ Dg)
Si (C2)
D2d (S4, D2, C2V)	#еЛ (As, C6ft, C6t), D3d, Dsfl)
Di (C4, D2)	Th(T)
Civ (Ci, C2V)	0(T)
Cih C2ft, 54)	Td(T)
^4л (^4> Cut, D2h, Civ, D2d)	Oh (0, Th, Td)
Se (C8)

подгрупп индекса 2, и потому нет построенных на их базе маг­нитных классов. Отметим также, что поворот С₃ никогда не вхо­дит в магнитный (нетривиальный) класс умноженным на R; по­ворот C₃R после трехкратного повторения привел бы к преобра­зованию R, отсутствующему в классах этого типа¹).

^]) В абстрактной теории симметрии о магнитной симметрии говорят как об антисимметрии. Идея антисимметрии была выдвинута независимо Хеешем (Я. Heesh, 1929) и А. В. Шубникоеым (1945). Классы антисимметрии были найдены Шубникоеым (1951) как группы симметрии геометрических фигур (мно­гогранников) с гранями, окрашенными в два цвета; элементу R соответствует при этом операция изменения цвета граней. Как группы магнитной симмет­рии, эти классы были получены Б. А. Тавгером и В. М. Зайцевым (1956). Изложенный здесь способ их вывода принадлежит В. Л. Инденбому (1959).

В предыдущем параграфе уже отмечалось, что о возможности существования ферромагнетизма нельзя судить по кристаллогра­фическому классу. Для иллюстрации рассмотрим тетрагональную решетку из одинаковых атомов с магнитными моментами, на-

МАГНИТНЫЕ КЛАССЫ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ

195

правленными вдоль тетрагональной оси¹). Ее магнитный кристал­лический класс: Z)_4ft(Z)₄), содержащий преобразования²)

Е, С₂, 2С₄₎ 2U₂R, 2U₂R, I, <х_д, 2S₄, 2a_vR, 2a'_vR.

Все эти преобразования оставляют инвариантным аксиальный вектор м, направленный вдоль оси четвертого порядка. Между тем, кристаллический класс D_ih сам по себе не допускал бы существования аксиального вектора: все его компоненты М_х, М_у, М_г меняли бы знак, например, при повороте вокруг той или иной оси второго порядка.

Перейдем к пространственным магнитным группам. Они на­ходятся в таком же отношении к обычным кристаллическим про­странственным группам, как магнитные классы к кристаллическим классам: первые сводятся к последним, если заменить преобра­зование R тождественным преобразованием. Пространственных магнитных групп имеется всего 1651; как и магнитные классы, они подразделяются на три типа.

К типу I относятся 230 групп, совпадающих с кристалло­графическими и не содержащих преобразования R вовсе, а к ти­пу II—те же 230 групп, дополненных элементом R.

К нетривиальному типу III относятся 1191 групп, содержа­щие преобразование R лишь в комбинации с какими-либо пово­ротами, отражениями или трансляциями. Они имеют структуру (38,2), где //—какая-либо подгруппа индекса 2 кристаллической пространственной группы G, a G₁ — элемент из G, не входящий в Я. Очевидно, что подгруппа Н должна совпадать с исходной про­странственной группой блибо по своей трансляционной симметрии, либо по своему классу; в первом случае она имеет вдвое меньше «поворотных» элементов (поворотов и отражений), чем группа G, а во втором — вдвое меньше трансляций. Соответственно этому, тип III можно подразделить еще на два подтипа.

¹) Такова, например, решетка ферромагнитной фазы железа. В кристалло- графическом отношении она представляет собой слабо искаженную (вдоль одной из осей четвертого порядка) кубическую решетку. Искажение—резуль- тат магнитострикцни, возникающей в силу самого наличия магнитной струк- туры.

²) Обозначения элементов симметрии везде по III §§ 93, 94. В частности, U₂, 1]'г—повороты на 180° вокруг горизонтальных осей, перпендикулярных оси 4-го порядка, ад—отражение в горизонтальной плоскости, a_v, a'_v — отра- жения в вертикальных плоскостях, проходящих через оси С₄ и U₂, U'₂. Сим- волы U₂R, oR и т. п. обозначают плоскости и оси симметрии, которые входят в данный класс в комбинации с преобразованием R.

К подтипу Ша отнесем магнитные пространственные группы, для которых G₄ в (31,2) есть какое-либо «поворотное» преобра­зование кристаллической группы G = //+G₄//, не входящее в Н.

Трансляционная симметрия (решетка Б^равэ) пространственной группы М этого типа совпадает с трансляционной симметрией группы О; Другими словами, элементарная ячейка магнитной структуры совпадает с чисто кристаллографической элементар­ной ячейкой. Эти пространственные магнитные группы (их всего 674) относятся к магнитным классам типа III.

К подтипу II16 отнесем магнитные пространственные группы, для которых в качестве G_t в (31,2) может быть выбрана чистая трансляция на один из основных периодов группы О. Элемен­тарная ячейка магнитной структуры по объему вдвое больше кристаллографической элементарной ячейки. Совокупность чистых трансляций и трансляций, умноженных на R, образует магнит­ную решетку Бравэ; всего имеется 22 различных таких решетки. Пространственные магнитные группы типа III6 (их имеется всего 517) относятся к магнитным классам типа II¹).

Задача

Перечислить магнитные классы, допускающие ферромагнетизм.

Решение. Классы типа 11 не допускают ферромагнетизма. Подчеркнем, что тем самым не допускают ферромагнетизма все пространственные 1руппы типов 11 и III6, содержащие в себе умноженные на R трансляции (эти пре­образования заведомо меняют знак М); другими словами, для существования ферромагнетизма во всяком случае необходимо, чтобы магнитная элементарная ячейка совпадала с кристаллографической ²).

Из классов типа I (совпадающих с обычными кристаллическими классами) существование аксиального вектора М допускается классами:

Ci, С;— М в любом направлении, C_s — Mb плоскости симметрии,

С₂, C_2h, С₄, 5₄. С₄д, С_я, С₆, 5₆, C_3fl, С_еЛ —М вдоль оси симметрии.

Для существования ферромагнетизма в классах типа III во всяком случае необходимо, чтобы они не содержали элемента IR, меняющего знак вектора М при любом его направлении. Из числа этих классов допускают ферромагне­тизм следующие:

С₂(С_г), С₂й(С,-) — М перпендикулярен оси C₂R; C_s(Ci) — M в плоскости oR;

C_2v(C_s)— М в плоскости a_vR перпендикулярно оси C₂R;

D₂(C₂), C_2v(C₂), D_2h(C_2h) — М вдоль оси С₂;

04(С₄), С_4в(С₄), Z)_2d(5₄), D_ih(C_ih), D₃(C₃), C_3v(C₃), ,

^x) Построение всех магнитных пространственных групп (как групп анти­симметрии) осуществлено А. М. Заморзаевым (1953) и Н. В. Беловым, Н. Н. Не-роновой, Т. С. Смирновой (1955); составленные последними авторами таблицы этих групп—см. Труды Института кристаллографии, 1955, т. 11, с. 33 (анг­лийский перевод—в книге Shubnikov А. V., Belov N. V. Coloured summetry.— Pergamon Press, 1964). Наиболее полные таблицы магнитных пространственных групп и их свойств — Копцик В. А. Шубниковские группы.— Изд. МГУ, 1966.

²) Снова напомним (ср. примечание на стр. 195), что речь идет о симмет­рии решетки, уже искаженной самим существованием магнитной структуры.

DsdiSe), D_3fl{C_3h), D_e(C_e), C_ev(C_t), Ajft(Ceft) —^м вдоль оси C₄, C₃ или C_e.