§ 74. Турбулентное динамо

¹) Об отрезке линии ВВ — см. задачу 2.

²) Волной выключения называют ударную волну, в которой == 0, Н<₂ = 0. Она относится к медленным волнам; ее скорости

^1="_а1- ^У»2= |/"-^-"_А2 < "А2- VnlV„i=U\₂-

Может возникнуть сомнение в эволюционности волн включения и выклю­чения; так, в волне включения v_nl > и_А1 и потому, казалось бы, от нее мо­жет отходить только очна альфвеновская волна возмущений — со скоростью ^уп2 + " а-2 ⁼ 2" v назад. Не надо забывать, однако, что при наложении возму­щения тангенциальное магнитное поле становится отличным от нуля.

Турбулентное движение проводящей жидкости обладает за­мечательным свойством: оно может приводить к самопроизволь­ной генерации сравнительно больших магнитных полей; об этом явлении говорят как о турбулентном динамо. В проводящей

жидкости всегда существуют малые возмущения, вызванные фак­торами, посторонними по отношению к самому движению жид­кости, и сопровождающиеся появлением очень слабых электри­ческих и магнитных полей (так, возмущения могут быть связаны с магнитомеханическим эффектом во вращающихся участках жид­кости или даже с тепловыми флуктуациями). Вопрос заключается в дальнейшем поведении этих возмущений — будут ли они в ре­зультате турбулентного движения в среднем усиливаться со временем или же затухнут.

Ход изменения со временем раз возникнувших возмущений магнитного поля определяется игрой различных физических фак­торов. В направлении усиления поля действует специфический магнитогидродинампческий эффект растяжения силовых линий. В § 65 было показано, что при движении жидкости (с доста­точно большой проводимостью) магнитные силовые линии тоже перемещаются как «вмороженные» в нее, причем напряженность магнитного поля меняется пропорционально растяжению силовой линии в каждой ее точке. Но при турбулентном движении любые две близкие частицы жидкости с течением времени в среднем расходятся. В результате силовые линии растягиваются, а маг­нитное поле усиливается.

В направлении уменьшения поля действует диссипация маг­нитной энергии, выделяющейся в виде джоулева тепла индук­ционных токов. Поскольку диссипация энергии пропорциональна (rot Н)², т. е. квадратична по пространственным производным поля, ясно, что для движения с достаточно большими пространствен­ными масштабами изменения поля диссипация будет мала. Это еще отнюдь не означает, что поле на таких масштабах будет усиливаться. Дело в том, что упомянутое растяжение силовых линий сопровождается их «запутыванием», что приводит к умень­шению пространственного масштаба. Поэтому возможна ситуация, когда вместо усиления поля с данным масштабом возникает лишь поток энергии от турбулентных пульсаций с большими масшта­бами к пульсациям с меньшими масштабами; дойдя до достаточно «алых масштабов, энергия диссипируется.

Именно такая ситуация имела бы место в случае «двумерной» турбулентности, когда скорость движения жидкости v везде па­раллельна одной и той же плоскости ху (Д. Б. Зельдович, 1956); тодчеркнем, что генерируемое поле Н при этом не предпола­гается двумерным. Покажем это.

Рассмотрим, прежде всего, эволюцию перпендикулярной по утношению к движению жидкости компоненты поля Н_г. С учетом равенств divH = 0 и divv = 0 (в этом параграфе жидкость счи-'аем несжимаемой!) z-компонента уравнения (66,1) принимает вид

1Г = -^)Я_г + г_яДЯ,;

(74,1)

в него входит только Н_г. Первый член описывает просто перенос данного значения Н_г вместе с элементом жидкости, к которому оно относится. Второй же член описывает «диффузионное» вы­равнивание значений H_z в разных точках жидкости. Очевидно, что ни тот, ни другой эффекты не могут привести к возраста­нию H_z. Если начальное возмущение H_z занимает конечную об­ласть пространства, то вследствие «диффузии» с течением времени оно затухнет.

При доказательстве затухания компонент поля Н_х, Н_у можно положить Я_г = 0, поскольку нам надо исключить именно возмож­ность того, что эти компоненты останутся после затухания #_г^]). Сделаем это при дополнительном ограничении, что все величины (v и Н) не зависят от координаты z²). Тогда вектор rot Н на­правлен по оси z; то же самое относится к вектору [vH], а потому (как это видно из выражения (66,6)) по оси z направлено и электрическое поле Е. В таком случае можно описать электро­магнитное поле с помощью векторного потенциала А, направ­ленного по оси z и не зависящего от координаты z:

И -М*. и - — М» £-_l'id£ divA-— ^h»- ду ' ⁿv~ дх' с dt ' aivA- _dz ~^u-

Подставив эти выражения в (66,6), получим, после простого пре­образования, уравнение для А,:

^ = -(vv)A_z + v_mAA_z, (74,2)

точно совпадающее по виду с уравнением (74,1). Отсюда снова следует, что с течением времени возмущения А_г, а с ними и Н_х, Н_у, затухают.

^г) Последующими рассуждениями не исключается возможность возраста­ния поля на начальной стадии процесса.

²) Это предположение делается здесь только для упрощения и не имеет принципиального характера. Несколько более сложными рассуждениями можно доказать тот же результат и без этого ограничения.

Таким образом, турбулентное динамо представляет собой су­щественно трехмерное явление. Для иллюстрации этого обстоя­тельства укажем следующий пример движения, приводящего к усилению поля без изменения его пространственного масштаба. Рассмотрим совокупность замкнутых магнитных силовых линий, вмороженных внутри некоторого тора в жидкости (рис. 45, а). Пусть при движении жидкости этот тор растянется по длине, скажем, вдвое (рис. 45, б); во столько же раз уменьшится пло­щадь его сечения и увеличится величина магнитного поля. Далее, пусть при движении тор «скрутится» (рис. 45, е), а затем петли наложатся друг на друга (рис. 45, г). В результате получится конфигурация примерно тех же размеров, что и вначале, но с удвоенным значением поля в торе. Многократное повторение такого цикла приводит к неограниченному экспоненциальному усилению поля. Очевидно, что такое движение принципиально трехмерно.

Рис. 45.

Конечно, эта иллюстрация не является доказательством дей­ствительного существования турбулентного динамо; существуют еще и движения, дробящие масштабы поля. Для выяснения этого вопроса необходимо прямое исследование устойчивости турбу­лентного движения проводящей жидкости относительно малых начальных возмущений магнитного поля. На этом пути были получены веские указания на то, что при достаточно больших значениях магнитного числа Рейнольдса генерация магнитного поля действительно происходит¹). Мы не будем излагать этих, достаточно сложных, исследований, а остановимся лишь на общем описании установившейся картины магнитогидродинамической турбулентности в предположении существования турбулентного динамо.

Как известно, турбулентное движение можно рассматривать как совокупность «турбулентных пульсаций» разных масштабов — начиная от основного, «внешнего», масштаба / до наименьшего, «внутреннего», масштаба Я₀. Первый совпадает с характеристи­ческими длинами, определяющими размеры области, в которой происходит турбулентное движение. Второй же определяет поря­док величины расстояний, на которых становится существенной диссипация энергии (см. VI §§31, 32). Говоря о стационарной турбулентности, мы имеем в виду постоянство ее средних харак­теристик: усредненных по промежуткам времени порядка величины периодов соответствующих пульсаций, но, конечно, малых по сравнению со всем временем наблюдения. Мы будем отличать индексом Я средние характеристики пульсаций масштаба Я; так, ^vk, Н%—средние изменения скорости и поля на расстояниях ~Я.

См. Вайнштейн С. И.— ЖЭТФ, 1980, т. 79, с. 2175; 1982, т. 83, с. 161.

Утверждение о существовании турбулентного динамо означает, что на основном масштабе / существуют магнитные поля Н_и плотность энергии которых Hf/8n сравнима с плотностью кине­тической энергии жидкости ри²/2. Другими словами, альфвенов-ская скорость в поле Н_и

^UA~yk' ⁽⁷⁴'³⁾

сравнима с основным масштабом гидродинамической скорости v_l = u (изменение средней скорости на расстояниях ~/). Для масштабов же к<^1 поля Н_%<^Н₁¹).

Сразу же подчеркнем главное отличие магнитогидродинами-ческой турбулентности от обычной. В последней движение с ос­новным масштабом не сказывается существенным образом на свойствах мелкомасштабных пульсаций—оно приводит лишь к конвективному «сносу» последних. В магнитогидродинамическом же случае, напротив, поле Я_г основного масштаба влияет на движения всех меньших масштабов.

Поскольку для масштабов Я<^;/ поле Н_{ можно считать ло­кально однородным, a H^<^.H_t, то мелкомасштабное движение в этом случае есть не что иное, как совокупность магнитогидро-динамических волн малой амплитуды с волновыми векторами k~\l"K и скоростями ~и_А. Согласно (69,11) в этих волнах кине­тическая энергия жидкости и магнитная энергия одинаковы. Другими словами, в мелкомасштабных пульсациях с большой точностью соблюдается равнораспределение между магнитной и кинетической энергиями:

(74,4)

По порядку величины это соотношение можно экстраполировать к основному масштабу, где оно дает и~и_х—в согласии с пред­положением.

Рассмотрим область значений масштабов к в интервале

/>Я>Я₀.

(74,5)

^х) Мы интересуемся здесь генерацией турбулентного магнитного поля с характерными размерами пространственного изменения ^С/. Генерация «круп­номасштабного» поля с характерными размерами как оказывается, воз­можна, лишь если усредненные характеристики турбулентного движения не инвариантны относительно пространственной инверсии (этот случай здесь не рассматривается). Изложение соответствующей теории можно найти в кни­гах: Вайнштейн С. И., Зельдович Я- В., Рузмайкин А. А. Турбулентное динамо в астрофизике.—М.: Наука, 1980; Моффат Г. Возбуждение магни­тного поля в проводящей среде.— М.: Мир, 1980.

Следует иметь в виду, что вязкостная диссипация и джоулева диссипация могут, вообще говоря, становиться существенными при различных значениях Я, и в этом смысле в магнитогидродинами-ческой турбулентности могут существовать два внутренних мас­штаба; под Я₀ в (74,5) подразумевается больший из них, так что в области (74,5) (ее называют инерционной) нет никакой дис­сипации.

Введем, как и в теории обычной турбулентности, среднее ко­личество энергии (обозначим ее через е), диссипируемой в еди­ницу времени в единице массы жидкости. Эта энергия черпается из крупномасштабного движения, откуда постепенно передается во все меньшие масштабы, пока не диссипируется в пульсациях масштабов л *^а₀. Очевидно, что в инерционной области, где дис­сипация отсутствует, величина е представляет собой в то же время постоянный (не зависящий от Я) поток энергии в направлении уменьшающихся масштабов. В обычной, чисто гидродинамической турбулентности можно было утверждать, что локальные (т. е. на длинах Я-^;/) свойства турбулентности должны определяться только величинами р, е и, разумеется, самими расстояниями Я, но не масштабами / и и размеров и скорости в целом; этого было достаточно для того, чтобы найти зависимость от Я уже из соображений размерности. В магнитогидродинамической же тур­булентности локальные свойства могут зависеть и от поля Н\ (или, что то же, от скорости и_А). Для определения сообра­жения размерности теперь уже недостаточны и надо привлечь к делу соображения о фактическом механизме установления по­тока энергии.

Этим механизмом является взаимодействие магнитогидродина­мических волн малой амплитуды друг с другом, описываемое не­линейными членами в уравнениях движения. Поэтому поток энер­гии г должен разлагаться по степеням малых амплитуд v%, причем это разложение должно начинаться с членов более высокой сте­пени, чем вторая (квадратичные члены соответствовали бы обыч­ной диссипации, отсутствующей здесь). Члены третьей степени зависели бы от фаз взаимодействующих волн и выпадают при усреднении по этим случайным фазам. Поэтому еооу£. Теперь уже коэффициент пропорциональности можно определить из со­ображений размерности (е имеет размерность эрг/(г-с) = см²/с³):

e~Dt/u_AA,, (74,6)

или

v>,~(u_Aekyu (74,7)

(R. Н. Kraichnan, 1965). Это выражение заменяет собой закон Колмогорова—Обухова (y^~(eX)'^/a) обычной гидродинамической турбулентности. Экстраполируя (74,6) к основному масштабу, по­лучим для е оценку

г~и⁴/и_А1~и³/1

— такую же, как в обычной гидродинамике.

Внутренний масштаб турбулентности Я₀ можно оценить исходя из представления о мелкомасштабных пульсациях как о магнито­гидродинамических волнах на фоне крупномасштабного поля H_t. Вязкость и проводимость среды приводят к поглощению этих волн; соответствующий коэффициент поглощения у был найден в за­даче к § 69. Диссипация становится существенной, когда длина поглощения 1/у сравнивается с длиной волны, т. е. с масштабом к. Поскольку магнитогидродинамические волны распространяются со скоростью «_А (не зависящей от их длины), то частота со ~ и_А/к. Для коэффициента поглощения имеем оценку

у ~(v + vJ/A,³u_A. Из условия у ~ l/к при Я ~ Я₀ находим внутренний масштаб:

"А "

Если v^>v_m, то ^₀~v/«~//R, где R~«//v—число Рейнольдса для основного движения. Аналогично, при v_m^>v имеем X₀~//R_m.

В заключение отметим еще одно интересное свойство турбу­лентного движения сильно проводящей среды: магнитное поле выталкивается из турбулентной области. Действительно, рассмот­рим занятую турбулентностью конечную область, вне которой имеется магнитное поле. Силовые линии этого поля, входя в тур­булентную область, запутываются в ней в силу своей «вморо-женности»; магнитное поле становится хаотичным по направле­ниям. Это и означает обращение в нуль среднего по времени зна­чения напряженности Н, причем с тем большей точностью, чем выше проводимость среды (конечная проводимость приводит к «проскальзыванию» силовых линий, так что хаотизация поля ока­зывается неполной). Другими словами, при наложении не слишком сильного магнитного поля на турбулентно движущуюся (в огра­ниченной области) жидкость последняя будет вести себя как диа­магнитная среда с малой магнитной проницаемостью (ц,<^;1) — тем меньшей, чем больше магнитное число Рейнольдса R_m.

Достаточно же сильное магнитное поле не может не проник­нуть в жидкость. Это, однако, не означает, что сильное поле должно полностью подавить турбулентность. В сколь угодно силь­ном однородном внешнем магнитном поле (направленном по оси г) возможна двумерная турбулентность, в которой скорость жид­кости везде параллельна плоскости ху и не зависит от коорди­наты г. Действительно, в этом случае

rot[vH] = (H_v)v = 0

и из (65,2) следует, что движение жидкости не возмущает внеш­нее поле, оно остается однородным. Не возникает поэтому и токов, и сила Лоренца равна нулю. Можно сказать, что двумер­ное движение вообще «не чувствует» однородного поля. Именно в такую двумерную турбулентность и вырождается турбулент­ность в сильном внешнем поле.