и не зависит от направления к; направление распространения волны, понимаемое как направление ее групповой скорости, со­впадает с направлением поля Н. Эти волны называют альфвенов-скими (Я. Alfven, 1942), а скорость (69,6)—альфвеновской ско­ростью.

Обратимся к волнам, описываемым уравнениями (69,4); их называют магнитозвуновыми. Составив определитель уравнений (69,4) и приравняв его нулю, получим квадратное по и² уравне­ние, корни которого:

1 f Н²

1/2

}• (69,10)

Таким образом, мы получаем еще два типа волн; волны, отве­чающие знакам + и —■ в формуле (69,10), называют соответ­ственно быстрой и медленной магнитозвуковыми.

В предельном случае, когда Н¹ <^ 4лры§, имеем и₆ти₀, а из уравнений (69,4) следует, что v <^.v_x. Другими словами, быстрые магнитозвуковые волны в пределе переходят в обычные звуковые волны, распространяющиеся со скоростью и₀. Слабое поперечное магнитное поле в волне связано с v_x посредством

h_v « vjiju

В том же предельном случае скорость медленной магнитозвуковой • волны совпадает с альфвеновской скоростью и_А. При этом

VX&0, Vytt—hjV4пр ,

как и в волне первого типа, но только с другой поляризацией: векторы v и h лежат в плоскости, проходящей через к и Н, а не перпендикулярно к ней.

В несжимаемой жидкости (чему формально соответствует пре­дельный переход и_й —*■ со) остается всего один тип волн — альф-веновские с двумя независимыми направлениями поляризации. Закон дисперсии для этих волн дается формулой (69,8), а векторы v и h перпендикулярны к волновому вектору и связаны соотно­шением

v = Д=-. (69,11)

Тот факт, что при наличии продольного магнитного поля по­перечные смещения жидкости распространяются в ней в виде волн, может быть наглядно истолкован. Ввиду «вмороженности» сило­вых линий, поперечное смещение частиц жидкости приводит к их искривлению и тем самым к растяжению и, в некоторых местах, сгущению. Но характер действующих в магнитном поле сил (выражаемых максвелловским тензором напряжений) таков, как если бы магнитные силовые линии стремились сокращаться и в то

f н² , Л²

же время отталкиваться друг от друга¹). Поэтому при их ис­кривлении появляются квазиупругие силы, стремящиеся вновь выпрямить их, что и приводит к возникновению колебаний.

Обратимся снова к формулам (69,4) и (69,10) и рассмотрим обратный предельный случай, когда Я?^>4ярЫо- Для и₆ имеем тогда в первом приближении

Н У 4лр

Поскольку это выражение не зависит от к, то групповая скорость совпадает по величине с и_б и направлена вдоль к. Вектор v в этой

v =

волне перпендикулярен к Н (рис. 40) и его абсолютная величина связана с h = \h_y\ посредством

h

Для и_и

У~4лр

имеем в этом случае _ Н_х

При этом групповая скорость

Н

д«> Н

Эк

Вектору в этой волне антипараллелен Н, а по величине связан с к посредством

v = h-. гг- •

4лрицП _у

При произвольном соотношении между Я² и put как щ, так и и_ш зависят от направления волнового вектора. При увеличении угла между к и Н, и₆ монотонно возрастает, а и_м монотонно убывает. Легко видеть, что всегда имеют место неравенства

^{"м<"А<"б, "6>"о, "м<"о- (69,12)}

Если к|]Н, то и₆ и и_ш равны соответственно большей и меньшей из величин и₀ и и_А = Н\\ 4яр . Если же k_LH, то имеем

и₆ = V"о + #74яр , (69,13)

а Ид и и_ш обращаются в нуль, т. е. остаются лишь быстрые маг-нитозвуковые волны.

¹) Действительно, пусть силовая линия совпадает с осью г. Тогда про­дольное напряжение U_zz (65,8) содержит отрицательный член —Я²/8л, а по­перечные И_хх, П„„ —положительный член Н²/8л.

Наконец, рассмотрим два точных решения уравнений магнит­ной гидродинамики в виде плоской волны произвольной (не обя­зательно малой) амплитуды.

Одно из них — плоская альфвеновская волна в несжимаемой жидкости, распространяющаяся со скоростью и_А, т. е. являю­щаяся функцией х и t только в комбинации х—u_kt. Действи­тельно, обратимся к точным уравнениям (65,1—4). Уравнение непрерывности (65,3) в несжимаемой жидкости сводится к divv = 0, откуда v_x = const; без ограничения общности можно положить и_х = 0, что сводится к надлежащему выбору системы отсчета. Из уравнения же divH = 0 следует, что Н_х = const. Обозначив поперечные компоненты Н посредством h, получим из уравнений (65,2) и (65,4)

— = И — — = ^{Их dil} dt ^х dt ' dt - у-щг Ix ' '

т. е. точные уравнения автоматически сводятся к линейным урав­нениям, описывающим плоскую волну с фазовой скоростью (69,6), причем v и h связаны соотношением (69,11); профиль волны, т. е. зависимость h(x—U\t), произволен, х-компонента уравне­ния (65,4) дает

^{1 дР} ' ¹ h£ = 0,

р дх 4лр д.

откуда

P + j^ = const, (69,14)

чем определяется ход изменения давления в волне.

Другой случай — простая волна, распространяющаяся перпен­дикулярно к магнитному полю (С. А. Кйплан, К. П. Станюко­вич, 1954). Пусть поле направлено вдоль оси у; ось х — по-преж­нему в направлении распространения волны. Тогда Н_х — 0, Н_у = Н и уравнение divH = 0 удовлетворяется автоматически. Уравне­ния же (65,2—4) дают

О, (69,15)

Э, (69,16)

dv_x , dv_x , 1 dH² 1 dP

dt ^x дх ' 8лр дх p дх

дН	d(vxH)
dt 1	дх
dp ,	d(vxp) _(
dt 1	дх
dvx	l ая2
x дх	' 8лр дх

(69,17)

Из первых двух уравнений следует, как легко убедиться, что отношение Н/р = Ь удовлетворяет уравнению

дЬ . db .

аГ + °*1Г = ⁰

или db/dt = 0, где полная производная означает изменение вели­чины при перемещении данного элемента жидкости. Отсюда сле­дует, что если в начальный момент жидкость была однородна, так что Ь было в ней постоянно, то и в дальнейшем будет b = const. Подставив H = pb в третье уравнение, получим

Таким образом, магнитное поле исключается из уравнений, и за­дача сводится к решению уравнений (69,16) и (69,18). Но эти уравнения отличаются от уравнений одномерного движения в обыч­ной гидродинамике лишь изменением уравнения состояния газа; вместо истинного уравнения Р = Р(р) (при заданной энтропии s) надо пользоваться уравнением

Р* (p) = P(p) + ^P*.

Это обстоятельство позволяет перенести на рассматриваемый слу­чай магнитогидродинамического движения все результаты обычной гидродинамики. В частности, переносятся формулы точного ре­шения для одномерных бегущих волн (риманово решение — простые волны; см. VI § 94), причем роль скорости звука в них будет играть

в соответствии с формулой (69,13).

Задача

Определить коэффициент поглощения альфвеновской волны (предполагая его малым) в несжимаемой жидкости.

Решение. Коэффициент поглощения волны определяется как

t=Q/2q,

где Q—среднее (по времени) значение энергии, диссипируемой в 1 с в 1 см³, a q— средняя плотность потока энергии в волне; амплитуда волны убывает по мере ее распространения пропорционально e^_v*. Диссипация Q дается пра­вой стороной уравнения (66,3); в несжимаемой жидкости для волны, распро­страняющейся вдоль оси х (соответственно чему v_x = 0), имеем

дх J ~ 16л²о V дх J

В плотности же потока энергии (66,5) малые диссипативные члены опускаем и имеем

9* = —4ir^//*^hv-

Используя формулы (69,6) и (69,11), получим в результате