§ 70. Условия на разрывах

Как и в обычной гидродинамике, уравнения движения идеаль­ной магнитогидродинамической среды допускают разрывные те­чения.

Для выяснения условий, которые должны выполняться на поверхности разрыва, рассмотрим какой-либо элемент этой по­верхности и воспользуемся системой координат, движущейся вместе с ним¹).

Прежде всего на поверхности разрыва должен быть непреры­вен поток вещества: количество газа, входящего с одной сто­роны, должно быть равно количеству газа, выходящему с другой стороны поверхности. Это значит, что

где индексы 1 и 2 относятся к двум сторонам разрыва, а индекс п означает нормальную к поверхности составляющую вектора. Ниже мы будем обозначать разность значений какой-либо вели­чины с обеих сторон поверхности разрыва фигурными скобками. Таким образом,

W = o.

Далее, должен быть непрерывен поток энергии. Воспользо­вавшись выражением (65,11), получим

Ш = {р*>« (4+^a') + 47rK^№-^//«(vH)]} = 0.

Должен быть непрерывен также и поток импульса. Это условие означает, что \U_jkn_k\ = 0, где li_;k—тензор плотности потока им­пульса, а п — единичный вектор нормали к поверхности. С по­мощью (65,8) получим отсюда уравнения

|p + p^₊J-(H?-^)} = 0,

где индексом t отмечены тангенциальные к поверхности состав­ляющие векторов.

Наконец, непрерывны нормальная составляющая магнитного поля и тангенциальная составляющая электрического поля. При бесконечной проводимости среды индукционное электрическое поле Е = — [vH]/c. Поэтому условие {Е,} = 0 дает

*) Этим условием система координат фиксируется лишь в отношении своей скорости в направлении, нормальном к поверхности. К касательной же "о скооости может еще быть добавлен произвольный постоянный вектор.

{H_nv_t-H_tv_n} = 0.

Ниже нам будет часто удобнее пользоваться вместо плотности газа его удельным объемом V = 1,'р. Плотность же потока массы через разрыв обозначим посредством /:

i = = (70-1)

Учитывая непрерывность / и Н_п, остальные граничные усло­вия можно написать в следующем виде:

1^₊П1 ₊ А ₊ Щ^_{Н^_}, С70.2,

{Р\ + ЩУ} + ±{Щ} = 0, (70,3)

/Ы=-&{Н,}. (70,4)

Н„Ы = НУН,\. (70,5)

Это и есть основная система уравнений, описывающих разрывы в магнитной гидродинамике.

§ 71. Тангенциальные и вращательные разрывы

В обычной гидродинамике возможны, как известно, разрывы двух различных типов—ударные волны и тангенциальные раз­рывы. Возникновение двух типов разрывов связано математически с тем, что некоторые из граничных условий оказывается возмож­ным представить в виде равенства нулю произведения двух мно­жителей; приравнивая нулю каждый из множителей в отдельности, мы получаем два независимых решения.

В магнитной же гидродинамике уравнения (70,2—5) не имеют такого вида, и на этом основании можно было бы думать, что имеется всего один единый тип разрывов, охватывающий все возможные частные случаи. В действительности, однако, оказы­вается, что и здесь существуют различные типы разрывов, не являющиеся частными случаями один другого (F. Hoffmann, Е. Teller, 1950).

Рассмотрим прежде всего такие разрывы, в которых /=0. Это значит, что у_1и = у_2и = 0, т. е. жидкость движется парал­лельно поверхности разрыва. Если при этом Н_пф0, то из урав­нений (70,2—5) видно, что должны быть непрерывны скорость, давление и магнитное поле. Произвольный же скачок может испытывать плотность (а также энтропия, температура и т. п.). Такой разрыв, который можно назвать контактным, представ­ляет собой просто границу раздела между двумя неподвижными средами с различными плотностями и температурами.

Если же при / = 0 также и Я„ = 0, то из четырех уравне­ний (70,2—5) тождественно удовлетворяются сразу три; уже

отсюда ясно, что этот случай является особым. Таким образом, мы находим тип разрывов, которые можно назвать, как и в обыч­ной гидродинамике, тангенциальными. На таком разрыве ско­рость и магнитное поле касательны к его поверхности и испыты­вают произвольные по величине и направлению скачки:

/ = 0, Я_п = 0, {v,}#0, {НЛ#0. (71,1)

Произволен также скачок плотности, а скачок давления связан со скачком ti_t уравнением (70,3):

{ПФО, {p+-£f} = 0. (71,2)

Скачки же других термодинамических величин (энтропии, темпе­ратуры и т. д.) определяются по скачкам V и Р с помощью уравнения состояния газа.

Другим типом разрывов являются разрывы, в которых плот­ность газа не испытывает скачка. Ввиду непрерывности потока / = v„/V из отсутствия скачка плотности сразу следует, что будет непрерывной и нормальная составляющая скорости:

1Ф0, {V} = 0, Ы = 0. (71,3)

Далее, в правой стороне уравнения (70,5) выносим V за фи­гурные скобки и, разделив почленно уравнения (70,5) и (70,4) друг на друга, получаем

i=vw- <^7М>

После этого уравнение (70,4) или (70,5) дает

В уравнении (70,2) пишем w = e + PV; учитывая непрерывность V, заменив Я„ согласно (71,4) и произведя перегруппировку членов, перепишем его в виде

_{/W + /}^y_{^+^^H_{?} + r{(v.-/^}^H₀^,_}^=o_-

Второй член здесь обращается в нуль в силу равенства (70,3), а третий — в силу (71,5), так что остается {е} = 0, т. е. наряду с плотностью непрерывна также и внутренняя энергия. Но вся­кая другая термодинамическая величина однозначно определяется заданием двух величин — е и V. Поэтому непрерывны и все осталь­ные термодинамические величины, в том числе давление. Из уравнения же (70,3) следует тогда, что непрерывен также квадрат Я², т. е. абсолютная величина вектора Н,:

{Р} = 0, {H_t}=0. . (71,6)

Одновременная непрерывность Я, и Н_п означает, что остаются неизменными также полная абсолютная величина вектора Н и угол, образуемый им с нормалью к поверхности.

Формулы (71,3—6) определяют все свойства рассматриваемых разрывов. На них непрерывны термодинамические величины газа, а магнитное поле поворачивается вокруг направления нормали, оставаясь неизменным по своей абсолютной величине. Вместе с вектором ti_f испытывает скачок касательная составляющая скорости (согласно (71,5)), а нормальная составляющая скорости i>„= jV непрерывна и равна

(71,7)

Разрывы этого типа называют вращательными или альфвеновскими.

Заметим, что путем соответствующего выбора системы коор­динат всегда можно добиться, чтобы с обеих сторон поверхности вращательного разрыва скорость газа была параллельна полю. Для этого достаточно перейти к новой системе координат (см. примечание на стр. 333), движущейся относительно исходной со скоростью, равной

(71,8)

Другими словами, скорость поворачивается вместе с магнитным полем, оставаясь неизменной по величине и по углу, образуе­мому ею с нормалью.

Скорость v_n, взятая с обратным знаком, есть в то же время скорость распространения разрыва относительно жидкости. Она совпадает с фазовой скоростью (и_А) альфвеновских волн. Тот факт, что это совпадение имеет место для любого вращательного разрыва, до известной степени случаен, но при малых скачках величин на разрыве такое совпадение обязательно. Действительно, такой разрыв представляет собой слабое возмущение, в котором скорость v и магнитное поле Н получают малые приращения, перпендикулярные к плоскости, проходящей через Н и нормаль к поверхности п. Это возмущение относится как раз к тому типу, который обладает фазовой скоростью и_А. Физической скоростью распространения поверхности фронта малого возмущения является проекция групповой скорости на нормаль к ней, т. е. на волновой вектор к. Но ввиду линейности связи со с к имеем

и потому указанная проекция совпадает с фазовой скоростью

(й/k— Ид.

Хотя тангенциальные и вращательные разрывы представляют собой различные типы разрывов, но существуют разрывы, кото­рые обладают одновременно свойствами тех и других. Таковы разрывы, на которых v и Н тангенциальны и лишь поворачи­ваются, не меняясь по абсолютной величине.

Как известно, в обычной гидродинамике тангенциальные раз­рывы всегда неустойчивы по отношению к бесконечно малым возмущениям, что приводит к их быстрому размыванию в турбу­лентные области. Магнитное же поле оказывает стабилизирующее влияние на движение проводящей жидкости, и тангенциальные разрывы в ней могут оказаться устойчивыми. Это обстоятельство является естественным следствием того, что поперечные (по отно­шению к полю) смещения жидкости при возмущении связаны с растяжением «вмороженных» магнитных силовых линий и тем самым приводят к возникновению сил, стремящихся восстановить невозмущенное движение.

Выясним условия устойчивости для тангенциального разрыва в несжимаемой жидкости (С. И. Сыроватский, 1953).

Пишем

v=v_li2 + v\ P = P_Ui + P', Н=Н_Ь2 + Н\

где v_{b 2}, Р],₂, H_Ji2 — постоянные (с каждой из сторон разрыва) невозмущенные значения величин, a v', Р', Н' — их малые возму­щения. Подставив в уравнения (66,7—9), получим для идеальной жидкости:

div и'= 0, divv' = 0, (71,9)

^=(uv)v'-(vv)u', (71,10)

^ ₊ (_vv)v' = -lvP'-[urotu'] =

= -^V(P' + puu') + (uV)u'; (71,11)

для краткости здесь и ниже опускаем индексы 1, 2 и вводим обо­значение и = Н/|/4лр. Применив к уравнению (71,11) операцию div и учитывая (71,9), получим

A(P' + puu') = 0. (71.12)

Пусть х = 0 есть плоскость разрыва; векторы v и и парал­лельны ей. В каждом из полупространств х > 0 и х < 0 ищем все величины v', u', р в виде, пропорциональном exp{i(kr—со/) -f +кх}, где к—двумерный вектор в плоскости yz. Из уравнения (71,12) найдем, что 6^а = х²,так что надо положить х=/г на сто­роне х < 0 и к = — k па стороне х > 0. Далее, из х-компонент уравнений (71,10—11) исключаем v'_x и находим

Р' + _puu' = - и_х ^ [(со- kv)²-(ku)²] (71,13)

(случай, когда выражение в квадратных скобках обращается в нуль, нас не интересует, так как при этом со вещественно, а неустойчивость может быть связана лишь с комплексными зна­чениями со).

Пусть £(х, у, г) есть смещение вдоль оси х поверхности раз­рыва при возмущении. На смещенной поверхности должны вы­полняться условия (71,1—2):

{Р + Р' + р(и + иУ\ж{Р' + ₉ии'} = 0, Um + ^Uin~ К_х— (4^)?; = О, "_2и + "2_П« К_х—(и₂уК = 0 (условие отсутствия потока жидкости через поверхность разрыва выполняется при этом автоматически). Положив

£= const •е'*¹"'-^)

и исключив £, и_1х, и_3х из написанных трех уравнений, получим уравнение, определяющее возможные значения со:

(co-kvJ² + (co-kv₂)² = (k_Ul)² + (ku₂)². Это квадратное уравнение не имеет комплексных корней, если 2(ku0² + 2(ku₂)²-(kv)²>0

или

[2u_uu_lk + 2u_2iu_2k — v_iv_k]k_ik_k > О,

где v = v₂ — Vi—скачок скорости на разрыве.

Эта квадратичная форма положительна, если положительны след и определитель тензора второго ранга, стоящего в квадрат­ных скобках. Отсюда получаются искомые условия устойчивости ')

Щ + Щ> 2n_Pv\ [H₁H₂]²>2np([H₁v]² + [H₂v]²). (71,14)

Фактически, однако, благодаря наличию у жидкости малых, но все же конечных вязкости и электрического сопротивления тангенциальный разрыв не будет оставаться таковым в течение неограниченно долгого времени, даже если условия (71,14) вы­полнены. Хотя турбулентность при этом и не возникает, но вместо резкого разрыва получается постепенно расширяющаяся переходная область, в которой скорость и магнитное поле плавно меняются от одного своего значения к другому.

: v ■

dt Ала дх² ' dt ~ ' &'² (⁷¹>15)

⁵) Если плотности несжимаемых сред с двух сторон разрыва различны, то в этих условиях р заменяется на 2pip-₂i({>j.-TРг)-

В этом легко убедиться на основании уравнений движения (66,8—9), сохранив в них диссипативные члены. Выберем направ­ление нормали к разрыву в качестве оси х. Предполагая все величины зависящими только от координаты х (и, возможно, от времени), напишем поперечные составляющие этих уравнений: дН₍ _ с³ <3²Н, d\_t _d²\_t

(жидкость предполагаем несжимаемой). Если предположить дви­жение стационарным, то левые стороны этих уравнений заме­няются нулями. Но тогда единственное решение, остающееся ко­нечным при я—»±оо, есть просто H_f = const, v_f = const, в про­тиворечии с предположением о наличии скачка значений этих величин. Таким образом, тангенциальный разрыв не может иметь стационарной ширины (как ее имеет, например, слабая ударная волна). Уравнения (71,15) имеют вид уравнения теплопроводности. Как известно из теории теплопроводности, разрыв величины, описы­ваемый этим уравнением, с течением времени размывается в пе­реходную область, ширина которой растет пропорционально квад­ратному корню из времени. Ввиду различия коэффициентов в двух уравнениях (71,15), ширины б_а и б_н областей изменения скорости и поля будут различны:

6„~(v/)i/², Ь_н~(сЧЮУ'*. (71.16)

Что касается вращательных разрывов, то они оказываются устойчивыми (в несжимаемой жидкости) по отношению к беско­нечно малым возмущениям при любых значениях магнитного поля (С. И. Сыроватский, 1953). Однако, как и тангенциальные разрывы, они не могут иметь стационарной ширины и под влия­нием вязкости и электрического сопротивления среды расширяются со временем (см. задачу).

Задача

Найти закон расширения со временем вращательного разрыва.

Решение. Предполагая все величины зависящими только от коорди­наты х (и времени), найдем из уравнений divv=0 и divH=0, что y_x = const, Н_х = const. Пусть система координат выбрана так, что значения v и Н по обеим сторонам разрыва (т. е. вдали от переходного слоя) связаны соотно­шениями (71,8); тогда v_x = u_x (с тем же обозначением и, что и в (71,9—11)). Для поперечных составляющих щ и v_t имеем из (66,8—9) уравнения

дщ , 5uj-_ dvf , с² д²щ

Т[^^их~Ш~^их~дТ^^гШ~дх^Т' ₍₁₎

dv_{t :} dvf _ дщ d²vt W~^rUxJx~~^Ux'd_X' ^{+ y}l^-

Поскольку при х=±со разность v< — щ обращается в нуль в силу соотноше­ний (71,8), то внутри переходного слоя она мала по сравнению с суммой vf-j-Uf. Сложив уравнения (1), мы можем поэтому пренебречь членом с v_t — щ и по­лучим

д 1 / с² \ д²

^(vt + u,)=2 —+ v]^-₂(v_f+u_f).

Отсюда видно, что ширина разрыва меняется по закону