§ 87. Поверхностный импеданс металлов

Диэлектрическая проницаемость металлов по своей абсолют­ной величине при не слишком больших частотах велика по срав­нению с 1 (при со —»- 0 она стремится к бесконечности как 1/со). В этих условиях длина волны б~с/со|/~|е| в металле мала по сравнению с длиной волны А ~ с/со в пустоте¹). Если при этом б (но не обязательно X) мала также и по сравнению с радиусами кривизны поверхности металла, то этим обстоятельством можно воспользоваться для существенного упрощения задачи об отра­жении произвольных электромагнитных волн от металла.

Малость б означает, что производные от компонент поля внутри металла в направлении нормали к поверхности велики по сравнению с производными в тангенциальных направлениях. Поэтому поле внутри металла вблизи поверхности можно рас­сматривать как поле плоской волны и, соответственно, поля E_t и Hf связаны друг с другом соотношением

(87,1)

*) Большие значения Y& (w) практически всегда являются комплексными. При этом электромагнитное поле затухает в глубь тела, так что длина волны в нем является в то же время глубиной проникновения поля. Если е (со) выражается через проводимость а (согласно (77,9)), то эта величина совпадает с глубиной проникновения, введенной в § 59.

где п — нормаль к поверхности, направленная внутрь металла. Поскольку, с другой стороны, E_t и H_f непрерывны, то таким же соотношением должны быть связаны их значения для поля вне металла у его поверхности. Равенством (87,1) можно вос­пользоваться (как было указано М. А. Леонтовичем, 1948) в качестве граничного условия при определении поля вне про­водника. Таким образом, внешнюю электромагнитную задачу можно решать, совершенно не рассматривая поля внутри металла.

Величину У (х/е называют поверхностным импедансом металла; обозначим ее посредством £ = £'-)-^х)

t> = VW- (87,2)

В области частот, для которых е выражается через обычную проводимость металла, имеем

С = 0-ОУТ| (87.3)

(эта формула с р=1 была уже указана в § 59).

Среднее (по времени) значение потока энергии через поверх­ность металла есть

S = ^Re[E_tH?] = !>_t|*n. (87,4)

Этот поток представляет собой энергию, втекающую извне внутрь металла и диссипирующуюся в нем. Отсюда видно, что должно быть

V > 0. (87,5)

Этим неравенством устанавливается знак корня (87,2).

При увеличении частоты глубина проникновения б сравни­вается по порядку величины с длиной свободного пробега / электронов проводимости²). В таком случае пространственная неоднородность поля делает невозможным его макроскопическое описание с помощью диэлектрической проницаемости е. Но гра­ничное условие вида

E_t = £[H_tn] (87,6)

²) В литературе используется также определение, отличающееся от (87,2) множителем 4л/с.

²) Длина пробега существенно зависит от температуры металла. Факти­чески речь идет обычно об очень низких температурах в гелиевой области, а рассматриваемые явления возникают в диапазоне ультракоротких радио­частот.

справедливо и при таких частотах. При этом поле внутри металла вблизи его поверхности можно по-прежнему рассматривать как плоскую волну, хотя она и не описывается теперь обычными макроскопическими уравнениями Максвелла. В такой волне поля Е и Н должны быть связаны друг с другом линейным соотношением, а единственно возможный вид линейного соотно­шения между аксиальным вектором Н и полярным вектором Е есть (87,6). Коэффициент £ в этом соотношении есть единствен­ная величина, характеризующая свойства металла, которую надо знать для решения внешней электромагнитной задачи. Его вы­числение требует, однако, применения кинетической теории (оно изложено в другом томе этого курса — см. X § 86).

При дальнейшем увеличении частоты (обычно в инфракрасной области) вновь становится возможным макроскопическое описание поля и понятие е вновь приобретает смысл. Причина этого явле­ния заключается в том, что, поглощая большой квант fiw, элек­трон проводимости приобретает большую энергию, в результате чего длина его пробега уменьшается, так что снова выполняется неравенство /<^б. Импеданс £ снова становится величиной, обратно пропорциональной У е¹). В этой области частот е(со) имеет большую отрицательную вещественную и малую мнимую части. Неравенство /<^б является условием того, что имеют макроскопический смысл обе величины е' и г". Для того чтобы имела макроскопический смысл лишь большая величина е', до­статочно, однако, выполнения более слабого условия у/со<^б, где v—скорость электронов проводимости в металле (его соблю­дение позволяет рассматривать движение электронов, пренебрегая пространственной неоднородностью поля)²).

Неравенство £' > О справедливо для вещественной части импе­данса в любом случае. Если же имеет место формула (87,2), то можно высказать некоторые суждения и о знаке мнимой части £. Так, если дисперсия е более существенна, чем дисперсия р, (т. е. р. можно считать вещественной величиной), то из е" > О следует < 0, а поскольку всегда £' > 0, то

V < о.

Это—наиболее обычный случай. Если же дисперсия £ опреде­ляется дисперсией р,, то тем же путем найдем, что £" > 0.

Понятие об импедансе может быть применено и к сверхпро­водникам. Характерной особенностью последних является суще­ствование в них малой глубины проникновения бив статическом случае (ш = 0). При не слишком больших частотах можно при­нять, что распределение магнитного поля совпадает со статиче­ским. Для определения же электрического поля пишем уравнение

rotE = i^-H.

с

*) Следует, однако, помнить, что пользоваться равенством (87,6) в каче­стве граничного условия можно лишь до тех пор, пока |е| велико (т. е. £ мало); это условие, во всяком случае, не удовлетворяется уже при оптиче­ских частотах. Мы предполагаем, что ii~l; тогда большим |s| соответствуют малые £. Укажем, что если р,^>1, то неравенство 8<^?i, необходимое для применимости граничного условия (87,6), означает, что должно быть У^Иё^> 1; при этом £= Y\i/e может и не быть малым.

²) Более подробно эта ситуация рассмотрена в X § 87.

Направим ось z по внешней нормали к поверхности сверх­проводника. Пренебрегая производными в тангенциальных направ­лениях по сравнению с большими производными по г, имеем

(и аналогично для Е_у). Интегрируем это равенство по глубине г внутрь тела:

о

^{£,(0) = 7 j H}_y^dz;

— со

Е_х (0) — значение Е_х при 2 = 0, т. е. на поверхности тела. Опре­делим глубину проникновения количественно следующим образом:

о

5 H_ydz = H_v(0)8. (87,7)

— СО

Тогда

£,(0) = 7^(0)6.

Сравнив с граничным условием вида (87,6), находим, что импе­данс сверхпроводника (в рассматриваемой области не слишком больших частот¹)) дается формулой

£ = -*7-6. (87,8)

Это выражение представляет собой первый член разложения £(са) по степеням частоты, которое, таким образом, начинается у сверх­проводников с члена, пропорционального со. Следующий член разложения пропорционален со² и веществен; это есть первый член разложения £'²).

Импеданс £(©), рассматриваемый как функция комплексного переменного со, обладает свойствами, во многом аналогичными свойствам функции е(со) (В. Л. Гинзбург, 1954). Граничное усло­вие, которое для монохроматической волны имеет вид (87,6), в общем случае надо понимать как операторное соотношение

E, = £[H_tn], (87,9)

выражающее значение E_t в некоторый момент времени через зна­чения Н_г во все предыдущие моменты времени (ср. § 77). Так же как и в §82, отсюда следует, что функция £(со) не имеет особых точек в верхней полуплоскости со, включая вещественную ось (кроме точки со = 0). Далее, условие вещественности E_t при ве­щественном H_t приводит к соотношению

£(-©•) = £•(«*).

*) Фактически идет речь о частотах примерно до сантиметрового диапа­зона радиоволн.

²) Микроскопическая теория показывает, что пропорциональный со² член в импедансе содержит также и логарифмический по со множитель — см. X §§ 96, 97.

Наконец, поскольку диссипация энергии определяется вещест­венной (а не мнимой, как у е(со)) частью функции £ (со), то £' (со) положительно и не обращается в нуль ни при каком веществен­ном значении со, за исключением только значения со = 0. Рас­суждения, аналогичные проведенным в § 82, позволяют затем сделать вывод, что

Rec;(co)>0

также и во всей верхней полуплоскости. Отсюда следует, в част­ности, что £(со) не имеет нулей в верхней полуплоскости.

Отсутствие у £(со) особых точек в верхней полуплоскости снова приводит к формулам Крамерса—Кронига. При этом осо­бенно существенна формула

* \ ' л 3 X—со

- со

Воспользовавшись четностью функции £' (х), ее можно переписать в виде

* ^V ' Я J x —со ' Л J х + со

о о

или

се

П")=-^Й> (87,10)

о

(единицу в числителе подынтегрального выражения можно опу­стить, поскольку главное значение интеграла от 1/(х²—со²) все равно есть нуль).

Все сказанное о функции £(со) в той же степени относится и к обратной функции 1/£(со); оператор £^-1 выражает [H_tn] через E_t. В частности, вместо (87,10) будем иметь

се

Vi-^«)Y=-²i\^[^fdx- (87,П)

о

При малых £ эта формула может быть более удобной для ис­пользования, чем (87,10). В написанном виде, однако, она не­применима к сверхпроводникам, у которых имеет согласно (87,8) при со = 0 полюс. Простое видоизменение вывода (ср. пе­реход от (82,7) к (82,9)) приводит при этом к формуле

со 0

В заключение этого параграфа в качестве примера использо­вания понятия импеданса рассмотрим отражение плоской элек­тромагнитной волны, падающей из пустоты на плоскую поверх­ность металла с поверхностным импедансом £. Если вектор Е поляризован перпендикулярно к плоскости падения, то граничное условие (87,6) дает

E₀ + E_x = i (Я₀ - HJ cos В₀ = t (E^—E,) cos В₀

(обозначения те же, что и в § 86). Отсюда имеем, учитывая ма­лость £,

£,/£„ = -(1-2£ cos 0_О)

и коэффициент отражения

/?_х= 1— 4£'cos0_o. (87,13)

Если же Е₀ лежит в плоскости падения, то граничное усло­вие пишем в виде £H_f = [nE_f], т. е.

£ (Н₀ + Н₁) = (Е₀ - Е_х) cos В₀ = (Я₀- Я,) cos 0_О, откуда коэффициент отражения

К.

cos e₀-U²

При углах падения, не слишком близких к я/2,

Если же угол ф₀ = я/2 — 0_О<^1, то

К|1 =

(87,16)

Это выражение имеет при ср₀ = | £ | минимум, равный

Я „ = (|£|-£')/(! U +

За исключением особого случая (87,16), коэффициент отраже­ния от поверхности с малым £ близок к единице. Поверхность с £—*0 (или, как говорят, идеально проводящая поверхность) является в то же время идеально отражающей. Граничное усло­вие на такой поверхности гласит просто E_f = 0, аналогично усло­вию для электростатического поля на поверхности проводника. Но в отличие от случая постоянного поля, в переменном поле это условие автоматически влечет за собой выполнение также и определенного условия для магнитного поля. Именно, в силу уравнения (г'со/с) Н = rot Е из равенства Е, = 0 на поверхности следует равенство Я_п = 0. Таким образом, на идеально проводя­щей поверхности в переменном электромагнитном поле обращается в нуль нормальная составляющая магнитного поля. В этом смысле такая поверхность аналогична поверхности сверхпроводника в постоянном магнитном поле.

Задача

Определить интенсивность теплового излучения (заданной частоты) от плоской поверхности с малым импедансом.

Решение. Согласно закону Кирхгофа, интенсивность dl теплового из­лучения (в элемент телесного угла do) от произвольной поверхности связана с интенсивностью излучения от поверхности абсолютно черного тела dl_u со­отношением rf/=(l — R)dl₀, где R — коэффициент отражения от данной поверх­ности для естественного света. Вычисляя R = ^J/₂ (R^ -\-R _п) с помощью формул (87,13) и (87,14) и учитывая изотропию излучения с поверхности абсолютно черного тела (tf/₀=/₀йо/2л), получим

Я/2

~cos²9 + 2£'cos9 + £'² + £"

I=2I₀t,' j |l + , „», , w, , ,„Л cos 6 sin 9 dQ.

Произведя интегрирование и опустив члены высшего порядка по L, находим

■7- = Е'(1п

_i-W«rctg£V

В частности, для металла с импедансом, определяемым формулой (87,3), имеем (р,= 1)

4ягт . . я '

8яа \ '^П w ¹ 2