§65] Уравнения движения жидкости в магнитном поле 315

Преобразовав последний член в уравнении (65,4) с помощью равенства

[HrotH] = iy#²-(HY)H

и учтя также, что div Н ==дН_к,'дх_к = 0, найдем, что в магнитной гидродинамике

n,-* = pfiV_k + P6_ik-± (//Д-{Я²6,,). (65,8)

Как и должно быть, к тензору U_ik добавляется максвелловский тензор напряжений.

Закон сохранения энергии в обычной гидродинамике выра­жается уравнением

It (~Т" + ^ре) ^{= _div}4, q = pv(-J + ^j,

где е и ш = е + Р/р — внутренняя энергия и тепловая функция единицы массы жидкости; оно автоматически следует из уравне­ний движения (см. VI § 6). При наличии в проводящей среде магнитного поля к плотности энергии добавляется магнитная энергия #²/8я, а к плотности потока энергии — вектор Пойнтинга S = c[EH]/4n. В последнем надо при этом выразить Е через Н согласно формуле

E=--i[vH], (65,9)

получающейся из (63,2) при о —>■ оо (и конечном j)¹). Таким образом, сохранение энергии в магнитной гидродинамике выра­жается уравнением

l(fⁱ+_Pe+|^)=~divq, (65,10)

где плотность потока энергии

q = pv(^ + ^Vt-^[H[vH]]. (65,11)

Легко проверить это уравнение и прямым вычислением.

В основе написанной системы магнитогидродинамических урав­нений лежит пренебрежение током смещения в уравнениях Макс­велла. Это значит, что предполагается

4|f |<|rotH|. (65,12)

Выразив Е через Н согласно (65,9), получим отсюда условие

^]) Это выражение отвечает равному нулю полю Е' (63,1) в системе отсче­та, движущейся вместе с данным элементом сбъема жидкости: в идеально проводящей среде происходит полная экранировка электрического поля.

vl;c-x<^\, (65,13)

где / и т—характерные для данного движения параметры длины и времени. Из (65,2) имеем оценку l/т ~ v и тогда из (65,13) находим условие v<<Sс—движение должно быть нерелятивистским (что и предполагалось нами с самого начала). Из уравнения же (65,4) имеем оценку ри/т~//²//; в совокупности с (65,13) это дает условие для величины магнитного поля:

Я²<рс². (65,14)

Обратим внимание на то, что в левой стороне уравнения (65,10) нет электрической энергии £²/8л, а в левой стороне урав­нения (65,7) нет импульса электромагнитного поля S/c². Это — автоматическое следствие пренебрежения током смещения. Малость электрической энергии по сравнению с магнитной соответствует неравенству Е ~ vH/c <^с //, а малость S/c² ~ ЕН/с ~ vH²/c° по сравнению с ри—неравенству (65,14).

Вернемся к уравнению (65,2); ему может быть дано важное наглядное истолкование (Н. Alfven, 1942). Раскроем rot в правой стороне уравнения, учтя при этом, что divH=0:

-^- = (Hv)v — (vv)H — Hdivv.

Подставив сюда согласно уравнению непрерывности (65,3)

а- 1 dp v _ div v = VP,

получим после простой перегруппировки членов:

- + vvJ--_w? = (-Vjv. (65,15)

С другой стороны, рассмотрим какую-либо «жидкую линию», т. е. линию, перемещающуюся вместе с составляющими ее части­цами жидкости. Пусть 61 — элемент длины этой линии; определим, как он меняется с течением времени. Если v есть скорость жид­кости в точке на одном конце элемента 61, то ее скорость на другом конце есть v + (81v)v. Поэтому в течение времени dt элемент 61 изменится на dc(61v)v, т. е.

A₆l = (61v)v.

Мы видим, что изменение векторов 61 и Н/р со временем опре­деляется одним и тем же уравнением. Отсюда следует, что если в начальный момент эти векторы совпадают по направлению, то они останутся параллельными и в дальнейшем, а их длины будут меняться пропорционально друг другу. Другими словами, если две бесконечно близкие частицы жидкости находятся на одной и той же силовой линии, то они будут находиться на одной и той же силовой линии и в дальнейшем, а величина Н/р будет меняться пропорционально расстоянию между ними.