§ 5. Силы, действующие на проводник

В электрическом поле на поверхность проводника действуют со стороны поля определенные силы. Их легко вычислить сле­дующим образом.

Плотность потока импульса в электрическом поле в пустоте определяется известным максвелловским тензором напряжений¹):

~ °^ik=i (т ^8ik~ ^Е<^Ек) •

Сила же, действующая на элемент df поверхности тела, есть не что иное, как поток «втекающего» в него извне импульса, т. е. равна a_ikdf_k = a_ikn_kdf (знак изменен в связи с тем, что вектор нормали п направлен наружу от тела, а не внутрь него). Вели­чина o_ikn_k есть, следовательно, сила F_n0B, отнесенная к 1 см² пло­щади поверхности. Учитывая, что у поверхности металла напря­женность Е имеет только нормальную составляющую, получим

£2

FnoB^{= n} g^^-, (5Л)

или, вводя поверхностную плотность зарядов а,

F_noe = 2nG²n = 7₂aE.

Таким образом, на поверхности проводника действуют силы «от­рицательного давления», направленного по внешней нормали к поверхности и по величине равного плотности энергии поля.

') См. II § 33. Тензор напряжений oiu принято определять со знаком, обратным по отношению к тензору плотности потока импульса. Такое опре­деление принято и в других томах этого курса; лишь в II § 33 по недосмотру обозначение Oik использовано с другим знаком.

Полная сила F, действующая на проводник, получается инте­грированием силы (5,1) по всей его поверхности¹):

Цы. (5,2)

Обычно, однако, более удобно вычислять эту величину, согласно общим правилам механики, путем дифференцирования энергии 41. Именно, сила, действующая на проводник вдоль координатной оси q, есть —d4l/dq, где под производной надо понимать изме­нение энергии при параллельном смещении данного тела как целого вдоль оси q. При этом энергия должна быть выражена через заряды проводников (источников поля), и дифференцирова­ние производится при постоянных зарядах. Отмечая это обстоя­тельство индексом е, напишем

dll

Аналогично, проекция на какую-либо ось полного действующего на проводник момента сил равна

«"(£).• <⁵'⁴>

где гр—угол поворота тела как целого вокруг данной оси.

Если же энергия выражена как функция потенциалов, а не зарядов проводников, то вопрос о вычислении с ее помощью сил требует особого рассмотрения. Дело в том, что для поддержания у проводника (при его перемещении) постоянного потенциала необходимо прибегнуть к помощи посторонних тел. Можно, напри­мер, поддерживать постоянный потенциал проводника путем сое­динения его с другим проводником, обладающим очень большой емкостью («резервуар зарядов»). Заряжаясь зарядом е_а, проводник отнимает его из резервуара, потенциал ц>_а которого при этом не меняется ввиду его большой емкости. Меняется, однако, энергия резервуара, уменьшаясь на е_аср_а. При заряжении всей системы проводников зарядами е_а энергия соединенных с ними резервуа­ров изменится в сумме на —^Ei^e_a⁽f_a- В величину же 41 входит только энергия рассматриваемых проводников, но не энергия резервуаров. В этом смысле можно сказать, что 41 относится к энергетически незамкнутой системе. Таким образом, для системы проводников, потенциалы которых поддерживаются постоянными, роль механической энергии играет не 41, а величина

41 = 41-%е_ац>_а. (5,5)

^J) В данном случае мы применяем эту формулу к поверхности, не совпа­дающей буквально с поверхностью тела, а несколько смещенной относительно нее, чтобы исключить влияние структуры поля вблизи поверхности тела (ср. стр. 14—15).

Подставив сюда (2,2), находим, что Ч1 и 41 отличаются только знаком:

41 = —41. (5,6)

Сила F_q получается дифференцированием 41 по q при постоянных потенциалах, т. е.

'.--(£).-(£), <">

Таким образом, действующие на проводник силы можно полу­чить дифференцированием 41 как при постоянных зарядах, так и при постоянных потенциалах, с той лишь разницей, что про­изводную надо брать в первом случае со знаком минус, а во втором-—со знаком плюс.

Этот же результат можно было бы получить и более формаль­ным путем, исходя из дифференциального тождества

d4l = '2_ly_ade_a—F_qdq, (5_;8)

а

в котором 41 рассматривается как функция зарядов проводников и координаты q; этим тождеством выражается тот факт, что про­изводные равны д41/де_а = ц_а, d4l/dq = —F_g. Переходя к перемен­ным ф_а вместо е_а, получим отсюда

d^eH = — ^e,/l(f_a—F_qdq, (5,9)

а

откуда и следует (5,7).

В конце § 2 была рассмотрена энергия проводника во внеш­нем однородном электрическом поле. Полная сила, действующая на незаряженный проводник в однородном поле, равна, разу­меется, нулю. Но выражением энергии (2,14) можно воспользо­ваться для определения силы, действующей на проводник в ква­зиоднородном поле <&, т. е. в поле, мало меняющемся на протя­жении размеров тела. В таком поле в первом приближении все еще можно вычислить энергию по формуле (2,14), а сила F опре­делится как градиент этой энергии:

F = - grad 41 = V,a,*V grad (5,10)

Что же касается полного момента сил К, то он, вообще го­воря, отличен от нуля уже и в однородном внешнем поле. По общим правилам механики К можно определить, рассматривая бесконечно малый виртуальный поворот тела; изменение энергии при таком повороте связано с К посредством 841 =—К<Н>, где бчр — угол поворота. Поворот тела на угол бор в однородном поле эквивалентен повороту поля относительно тела на угол —6tp. Изменение поля при этом есть 6<g =—[бтр • ©], а изменение энергии

Но дЧ1/д($ = —как это видно из сравнения формул (2,13) и (2,14). Поэтому Ш = — [З^Щ 6г|5, откуда

К = [<ре], (5,11)

в соответствии с обычным выражением, известным из теории поля в пустоте.

Если полные сила и момент, действующие на проводник, равны нулю, то проводник в поле остается неподвижным и на первый план выдвигаются эффекты, связанные с деформированием тела (так называемая электрострикция). Силы (5,1), действую­щие на поверхность проводника, приводят к изменению его формы и объема. При этом, ввиду растягивающего характера сил, объем тела увеличивается. Полное определение деформации требует решения уравнений теории упругости с заданным распределением сил (5,1) на поверхности тела. Если, однако, интересоваться только изменением объема, то задача может быть решена весьма просто.

Для этого надо учесть, что если деформация слаба (как это фактически имеет место при электрострикции), то влияние из­менения формы на изменение объема является эффектом второго порядка малости. Поэтому в первом приближении изменение объема можно рассматривать как результат деформирования без изме­нения формы, т. е. как всестороннее растяжение под влиянием некоторого эффективного избыточного давления АР, равномерно распределенного по поверхности тела и заменяющего собой точ­ное распределение согласно (5,1). Относительное изменение объема получается умножением АР на коэффициент всестороннего рас­тяжения вещества. Давление АР определяется, согласно извест­ной формуле, как производная от электрической энергии тела 41 по его объему: АР = — tfU/dV¹).

Пусть деформирующее поле создается самим заряженным проводником. Тогда энергия ^сМ = е²/2С и давление

ДР = ^е* ^{д П}

2 dV\C

При заданной форме тела его емкость (как величина, имеющая размерность длины) пропорциональна его линейным размерам, т. е. пропорциональна V^1/3. Поэтому находим

Если же незаряженный проводник находится в однородном внешнем поле (£, то его энергия дается формулой (2,14). Поэтому в этом случае растягивающее давление будет

ДР = 7Л*@,®.- (5,13)

7 Определенная таким образом величина есть растяжение, действующее на поверхность со стороны самого тела; давление же, действующее на нее извне, получается изменением знака.

Задачи

1. Маленький проводник с емкостью с (порядка величины его размеров) находится на расстоянии г от центра сферического проводника большого ра­диуса а (а'р>с). Расстояние г —а от проводника с до поверхности шара пред­полагается большим лишь по сравнению с с, но не по сравнению с а. Оба проводника соединены друг с другом тонким проводом, так что находятся при одинаковом потенциале ф. Определить силу взаимного отталкивания провод­ников.

Решение. Ввиду малости проводника с можно считать, что его потен­циал складывается из потенциала ц>а/г, который создается на расстоянии г большой сферой, и собственного потенциала е/с, создаваемого зарядом е, на­ходящимся на самом проводнике. Отсюда имеем ф = <$а/г-\-е/с или е=с<р (1 —а/г). Искомая сила взаимодействия F определяется как кулоновская сила отталки­вания между зарядом е проводника с и зарядом оф сферы:

(это выражение справедливо с точностью до членов более высокого порядка по с). Эта сила максимальна при г = За/2 (где она равна F_max = 4rcp²/27a) и убывает в обе стороны от этий точки.

2. Заряженный проводящий шар разрезан пополам. Определить силу, с которой оба полушария отталкиваются друг от друга ').

Решение. Представляем себе полушария разделенными бесконечно уз­кой щелью и определяем действующую на каждое из них силу F путем инте­грирования по их поверхности силы (£²/8л) cos 0 (проекция силы (5,1) на направление, перпендикулярное к плоскости раздела полушарий). В щели £ = 0, а па наружной поверхности Е=е/а², где а — радиус шара, а е — пол­ный заряд на нем. В результате получим

3. То же для незаряженного шара, находящегося во внешнем однородном поле 6, перпендикулярном к плоскости разреза.

Решение аналогично предыдущей задаче, стой разницей, что на по­верхности шара Е =3® cos 9 (согласно задаче 1 § 3). Искомая сила

4. Определить изменение объема и изменение формы проводящего шара во внешнем однородном электрическом поле.

Решение. Изменение объема AV/V= АР/К, где К—модуль всесторон­него растяжения вещества, а АР определяется формулой (5,13). Для шара а,-_к = а5,-_к = 36,-_к/4л (а из задачи 1 § 3), так что

АУ_ 3(£² V SkK '

В задачах 2 и 3 предполагается, что оба полушария находятся при одинаковом потенциале.

В результате деформации шар превращается в вытянутый эллипсоид. Для определения эксцентриситета этого эллипсоида можно рассматривать дефор­мацию как однородную вдоль объема тела деформацию сдвига, аналогично тому, как для изменения общего объема мы рассматривали однородную дефор­мацию всестороннего растяжения.

Условие равновесия деформированного тела можно сформулировать как условие минимальности суммы электростатической и упругой энергии. Первая из них согласно формулам (2,12), (4,26) равна

8ля 8я Юл R

где R — первоначальный радиус шара, а и Ь — полуоси эллипсоида, а

1 4 а — Ь ^П ~ 3 15 Д

— коэффициент деполяризации (см. (4,33)).

В силу аксиальной симметрии деформации (вокруг направления поля — оси х) отличны от нуля лишь компоненты и_хх и и_уу = и_гг тензора деформа­ции. Поскольку мы рассматриваем равновесие по отношению к изменению формы, можно считать при этом объем неизменным, т.е. иц=0. Поэтому упругую энергию можно написать в виде

V V

'"упр—"J ^uik^aik — ~^ (^ахх ®уу) (^ихх ^ауу)'

где aik — тензор упругих напряжений (см. VII § 4). Имеем

^ахх — ^аг/г/ = ²1¹ (^Uxx — Uyy),

где ц—модуль сдвига вещества, а и_хх — и_уу = (а — b)/R. Поэтому

_2_±(a-_zbl

«упр ' •

е².

Минимизируя сумму ЭДупр + ^эл ^{по а} — Ь, получим

а — Ь 9

40л[х

5. Найти связь между частотой и длиной волны, распространяющейся по заряженной плоской поверхности жидкого проводника (в поле тяжести). Полу­чить условие устойчивости этой поверхности (Я- И. Френкель, 1935).

Решение. Пусть волна распространяется вдоль оси х, ось г направлена вертикально вверх. Вертикальное смещение точек поверхности жидкости £ = = aexp[i(kx—Kit)]. При неподвижной поверхности напряженность поля над ней Е_z = Е = 4яа₀, а его потенциал ф = —4яа₀г, где а₀ — поверхностная плот­ность зарядов. Потенциал поля над колеблющейся поверхностью пишем в виде

ф = —4ла₀г + ф1, ф! = const.eH^kx-^at) e~^kz,

где ф! — малая поправка, удовлетворяющая уравнению Аф! = 0 и обращающаяся в нуль при г -*оо. Вдоль самой поверхности проводника потенциал должен иметь постоянное значение, которое принимаем за нуль; отсюда

ф1 |_г=₀ = 4ла₀£.

Согласно (5,1) па заряженную поверхность жидкости действует дополни­тельное отрицательное давление, равное, с точностью до членов первого по­рядка ПО ф!,

=2ло²+ 4яа²&£.

z= о

Постоянный член 2ла² несуществен (его можно включить в постоянное внеш­нее давление).

Рассмотрение гидродинамического движения в волне вполне аналогично теории капиллярных волн (см. VI § 01), отличаясь лишь наличием указан­ного выше дополнительного давления. На поверхности жидкости получаем граничное условие

г , ^дФ

- а — 4no₀kt, — 0,

где а—коэффициент поверхностного натяжения, р—плотность жидкости, а Ф — потенциал ее скорости; Ф и £ связаны друг с другом еще и соотно­шением

dg_ дФ dt~ дг

Подставив в эти два соотношения

t = aeⁱ-Фх-Ш), ф ₌ Aeⁱ №x-a>t) _е- kz

(Ф удовлетворяет уравнению дф = 0) и исключив а и А, получим искомую связь между J и ш:

«o^s = -^-(gp —4na²ft-faft²). (1)

Для того чтобы поверхность жидкости была устойчивой, частота ш должна бытп вещественной при всех значениях к (в противном случае будут сущест­вовать комплексные ш с положительной мнимой частью и множитель е-<м* будет неограниченно возрастать). Условие положительности правой стороны (1) гла­сит: (4яа²)²— 4gpa < 0, откуда

Оо < £ра/4я².

Это и есть условие устойчивости.

6. Найти условие устойчивости заряженной сферической капли (Rau-leigh, 1882).

Решение. Сумма электростатической и поверхностной энергии капли

где a—коэффициент поверхностного натяжения жидкости, С—емкость капли, S — площадь ее поверхности. Неустойчивость возникает (при увеличении е) по отношению к вытягиванию шара в эллипсоид и определяется моментом, когда 41 становится убывающей функцией эксцентриситета (при заданном объеме капли). Шарообпазния форма всегда соответствует экстремуму 11; поэтому условие устойчивости гласит:

д(а — Ь)²

дЧ1

> 0,

а=Ь

где а, Ь — полуоси эллипсоида, а дифференцирование производится при аЪ^г = = const. Воспользовавшись известной формулой для поверхности эллипсоида-и формулой (4,18) для его емкости, получим после довольно длинного вычи­сления

е^г < 1ола³а.

Это условие обеспечивает устойчивость капли относительно малых дефор маций. Оно оказывается более слабым, чем условие устойчивости относи­тельно большой деформации—деления на две одинаковые части (капли с за­рядами е/2 и радиусами а/2¹'³):

2^,/з—1

е² < 16яа³а —=0,35- 16яа³а.

2 —2 /'