§ 82. Аналитические свойства функции е(со)

Функция / (т) в (77,3) конечна при всех значениях своего аргумента, в том числе и при т = 0¹). У диэлектриков эта функ­ция стремится при т—>-оо к нулю. Это обстоятельство является

Именно для этой цели в интегральной зависимости (77,3) выделен член Е (t)\ в противном случае функция / (т) имела бы при т=0 особенность типа б-функции.

просто выражением того факта, что на значение D(t) в заданный момент времени не могут заметно влиять значения E(t) в очень давние моменты. Физический механизм, лежащий в основе интег­ральной зависимости вида (77,3), заключается в процессах уста­новления электрической поляризации. Поэтому интервал значе­ний, в котором функция / (т) заметно отличается от нуля,— по­рядка величины времени релаксации, характеризующего скорость этих процессов.

Сказанное относится и к металлам, с той только разницей, что стремится к нулю при т—^ оо не сама функция /(т), а раз. ность f (т) — 4ла. Это отличие связано с тем, что уже прохожде­ние стационарного тока проводимости, хотя и не приводит к какому-либо реальному изменению физического состояния ме­талла, но в наших уравнениях формально означает появление индукции d согласно

l 3D Ал _с

—а~г = — °"Е

С 01 с

или

t 00

^{d(r)= J 4штЕ(т)с(т=4яо-$ Е (г—x)dx.}

-ос О

Функция е (со) была определена согласно (77,5):

оо

s (со) = 1 +^<j_ieⁱ^f(t)dx. (82,1)

о

Оказывается возможным выяснить некоторые весьма общие свой­ства этой функции, рассматривая со как комплексную переменную (со = со'+ ico"). Эти свойства можно было бы сформулировать здесь сразу, заметив, что электрическая восприимчивость [е(со)— 1]/4л относится к категории величин (обобщенных восприимчивостей), рассмотренных уже в V § 123. Тем не менее, мы частично повто­рим здесь соответствующие рассуждения и результаты — как с целью облегчения чтения, так и с целью подчеркнуть некоторые раз­личия между случаями диэлектриков и металлов.

Из определения (82,1) и из указанных выше свойств функции / (т) следует, что во всей верхней полуплоскости е (со) есть одно­значная функция, нигде не обращающаяся в бесконечность, т. е. не имеющая никаких особых точек. Действительно, при со" > О в подынтегральном выражении в формуле (82,1) имеется экспонен­циально убывающий множитель е~^а"^х, а поскольку и функция f (т) конечна во всей области интегрирования, то интеграл сходится. Функция е (со) не имеет особенностей и на самой вещественной оси (со" = 0), за исключением, возможно, лишь начала координат (у металлов е (со) имеет в этой точке простой полюс).

В нижней же полуплоскости определение (82,1) неприменимо, так как интеграл расходится. Поэтому функция е (со) в нижней полуплоскости может быть определена лишь как аналитическое продолжение формулы (82,1) из верхней полуплоскости. В этой области функция е(со) имеет, вообще говоря, особые точки. Функ­ция е (со) в верхней полуплоскости имеет не только формальный математический, но и физический смысл: ею определяется связь между d и Е для полей с возрастающей (как е^а"') амплитудой. В нижней же полуплоскости такое физическое истолкование не­возможно уже хотя бы потому, что наличие затухающего (как ехр (— | со" | t)) поля предполагает его бесконечную величину при / —>— оо.

Обратим внимание на то, что вывод об отсутствии особых точек у функции е (со) в верхней полуплоскости является с физи­ческой точки зрения следствием принципа причинности. Послед­ний проявляется в том, что интегрирование-в (77,3) производится лишь по времени, предшествующему данному моменту t, в резуль­тате чего в формуле (82,1) область интегрирования и распро­страняется от 0 до оо (а не от —оо до -f-°o).

Из определения (82,1) очевидно, далее, что

е (_ со*) = е* (со). (82,2)

Это есть обобщение соотношения (77,7), относящегося к вещест­венным значениям со. В частности, для чисто мнимых значений со имеем

e(uo") = 8*(ico"). (82,3)

Это значит, что на верхней мнимой полуоси функция е (со) вещест­венна ¹).

Подчеркнем, что свойство (82,2) выражает собой просто тот факт, что операторная связь d = еЕ должна обеспечивать вещест­венность d при вещественном Е. Если функция E(t) дается вещественным выражением

E = E₀e-<^a< + E₀Y^a*', (82,4)

то, применяя оператор е к каждому из двух членов, получим: d = е (со) Е₀е~^ш + е (— со*) E₀V^a*';

условие вещественности этой величины совпадает с (82,2).

^х) Для нижней мнимой полуоси такое заключение было бы, вообще говоря, несправедливо. Функция е (со) может иметь здесь точки ветвления, и для ее определения в нижней полуплоскости как аналитической функции может ока­заться необходимым разрез по полуоси. Тогда равенство (82,2) означает лишь комплексную сопряженность значений е (со) на обоих берегах разреза.

Согласно результатам § 80 мнимая часть е(со) положительна при положительных вещественных значениях со = со', т. е. на пра-

(82,5)

В точке же со = 0 функция Ims меняет знак, проходя через нуль (у диэлектриков) или через бесконечность (у металлов). Это — единственная точка на вещественной оси, в которой Ime(co) может обратиться в нуль.

При стремлении со к бесконечности по любому пути (в верх­ней полуплоскости) функция е (со) стремится к единице. Это обстоя­тельство было указано уже в § 78 для случая, когда со —*■ со вдоль вещественной оси. В общем случае это видно из той же формулы (82,1): если со —■>- оо так, что со" —> оо, то интеграл в (82,1) обращается в нуль благодаря наличию в подынтегральном выра­жении множителя ехр(—тсо"); если же со" остается конечным, а |со'|—^оо, то обращение интеграла в нуль происходит благо­даря наличию осциллирующего множителя е^С(й'^х.

Перечисленных свойств функции е(со) достаточно для того, чтобы доказать следующую теорему: функция е(со) не принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней полу­плоскости, за исключением лишь точек мнимой оси; на послед­ней же е (со) монотонно убывает от значения е₀ > 1 (у диэлектри­ков) или от -(-оо (у металлов) при со = Ю до 1 при co = ioo. Отсюда следует, в частности, что функция е(со) не имеет нулей в верхней полуплоскости. Мы не будем повторять здесь доказа­тельство этих утверждений, приведенное в V § 123; нужно помнить лишь, что роль обобщенной восприимчивости играет не сама функция е (со), а разность е(со)—1.

Мы не будем повторять также вывода соотношений, связы­вающих друг с другом мнимую и вещественную части функции е (со). Выпишем лишь окончательные формулы с соответствующим образом измененными обозначениями.

Напишем функцию е(со) вещественной переменной со, как и в § 77, в виде е(со) = е' (со) + ie" (со). Если функция е(со) отно­сится к диэлектрику, указанные соотношения гласят

в»-1=-£-

(82,6)

— 00

₈"(со) = —

л J x—со ^a '

(82,7)

где перечеркнутый знак интеграла означает, что интеграл от полюсного выражения понимается в смысле его главного значе­ния (Я. A. Kramers, R. L. Kronig, 1927). Напомним, что единст­венным существенным свойством функции е(со), использованным при выводе этих формул, является отсутствие особых точек в верхней полуплоскости. Поэтому можно сказать, что формулы Крамерса—Кронига (как и указанное свойство функции е(со)) являются прямым следствием физического принципа причинности.

Воспользовавшись нечетностью функции е"(со), можно при­вести формулу (82,6) к виду

(82,8)

00

, . . , 2 f да" (х) , 8 И-1=— \zT^dx

о

Если речь идет о проводнике, то в точке со = 0 функция е (со) имеет полюс, вблизи которого е = 4ясл/со (77,9). Это приводит к появлению в формуле (82,7) дополнительного члена (ср. V (123,18)):

■»--И-££<о+т¹: <⁸²'⁹>

формула же (82,6) или (82,8) остается неизменной. Кроме того, в случае металлов надо сделать еще следующее замечание. В кон­це § 77 было указано, что у металлов могут существовать об­ласти частот, в которых функция е(со) теряет свой физический смысл в связи с эффектами пространственной неоднородности поля. Между тем, в рассматриваемых формулах интегрирование должно вестись по всем частотам. В таких случаях под е (со) в соответствующих областях частот надо понимать функцию, по­лучающуюся в результате решения формальной задачи о поведении тела в фиктивном пространственно однородном периодическом электрическом поле (а не в неизбежно неоднородном поле электро­магнитной волны).

Особенно существенна формула (82,8). Она дает возможность вычислить функцию е' (со), если известна хотя бы приближенным (например, эмпирическим) образом функция е"(со) для данного тела. При этом существенно, что для любой функции е" (со), удов­летворяющей физически необходимому требованию е" > 0 при со > 0, формула (82,8) дает функцию е'(со), не противоречащую никаким необходимым физическим требованиям, т. е. принци­пиально возможную (знак и величина е' не ограничиваются никакими общими физическими условиями). Это обстоятельство и дает возможность использовать формулу (82,8) даже по при­ближенной функции е"(со). Напротив, формула (82,7) не дает (в общем случае произвольной функции е'(со)) физически воз­можной функции е"(со), так как не обеспечивает автоматическим образом положительность последней.

В теории дисперсии принято записывать выражение для е' (со) в виде

_е>)__{1 =} _^_^^ (82,10)

о

где е, т—заряд и масса электрона, a f(co)dco называется силой осцилляторов в интервале частот dco. Согласно (82,8) эта величина связана с е" (со) посредством

/(°>)=W^me>)- (⁸²-^и)

У металлов f (со) стремится к конечному пределу при со-+0.

При достаточно больших значениях со в подынтегральном вы­ражении в (82,8) можно пренебречь х по сравнению с со. Тогда

со

е'(со) —1 = — ^xe"(x)dx.

о

С другой стороны, для диэлектрической проницаемости при боль­ших частотах мы имеем формулу (78,1). Сравнение обоих выра­жений приводит к правилу сумм

со 00

^{J сое" (со) dco == f f (со) dco == TV, (82,12)}

2я²е²

о

где N— полное число электронов в единице объема вещества.

Если е"(со) не имеет особенности при со = 0, то в формуле (82,8) можно перейти к пределу со—>0, и мы получим

со

_e^{'(0)-l = JJ-^dx. (82,13)}

о

Если же точка со = 0 является особой для функции е" (со) (ме­таллы), то предел, к которому стремится интеграл (82,8) при со—>-0, не совпадает со значением, получающимся путем простого вычеркивания в нем со. Для вычисления указанного предела необходимо предварительно заменить в подынтегральном выра­жении е" (х) на

эта замена не меняет значения интеграла, поскольку тождественно

; = 0.

00

dx

Sx*-

0

Формулу (82,13) для диэлектриков можно переписать в виде где черта обозначает усреднение с помощью силы осцилляторов:

N J со² о

Это выражение может быть полезным при различных оценках величин е₀.

Наконец, можно получить формулу, выражающую значения е (со) на верхней мнимой полуоси через значения е"(со) на вещест­венной оси (соответствующие вычисления тоже приведены в V § 123). Эта формула имеет вид

О

Если проинтегрировать это соотношение с обеих сторон но со, то получается

00 00

$[е(гсо) — l]dco = $e"(co)dco. (82,16)

о о

Все изложенные результаты (с небольшим лишь видоизменением) относятся и к магнитной проницаемости р(со). Отличие связано прежде всего с тем, что при увеличении частоты функция р(со) сравнительно рано теряет физический смысл. Поэтому, например, применять формулы Крамерса—Кронига к р(со) надо следующим образом. Вместо бесконечного рассматриваем конечный интервал значений со (от 0 до со_х), простирающийся до таких частот, при которых р еще имеет смысл, но уже перестает меняться и ее мнимую часть можно считать равной нулю; соответствующее вещественное значение р обозначим как p_t ^J). Тогда формулу (82,8) надо писать в виде

со,

(82,17)

о

В противоположность е₀, значение р₀ = Н-(0) может быть как меньше, так и больше 1. Изменение же р(со) вдоль мнимой оси по-прежнему является монотонным убыванием — на этот раз от р,„ до Ui < р₀.

Наконец, отметим, что аналитическими свойствами, установ­ленными в этом параграфе для функции е(со), в равной степени обладает и функция ii(co)e= 1/е(со). Так, аналитичность и, (со)

^г) Фактически со, должно удовлетворять условию C0jT^> 1, где т—наимень­шее из времен релаксации ферро- или парамагнитных процессов в магнетике.

в верхней полуплоскости следует из аналитичности и отсутствия нулей у функции 8 (со) в этой полуплоскости. Для функции Т) (со) справедливы те же соотношения Крамерса—Кронига (82,6—7), что и для е(со).