§ 98. Оптические свойства одноосных кристаллов

Оптические свойства кристалла зависят в первую очередь от симметрии его диэлектрического тензора e_ik. В этом отношении все кристаллы делятся на три категории — кубические, одноосные и двухосные (см. § 13).

В кристалле кубической системы e_ik = e8_ik, т. е. три главных значения тензора совпадают, а направления главных осей вполне произвольны. Поэтому в отношении своих оптических свойств кубические кристаллы вообще не отличаются от изотропных тел.

К одноосным относятся кристаллы ромбоэдрической, тетраго­нальной и гексагональной систем. Одна из главных осей тензора e_ik совпадает здесь с осью симметрии соответственно третьего, четвертого или шестого порядка; эту ось называют в оптике оптической осью кристалла (ниже мы выбираем эту ось в ка­честве оси г, а соответствующее главное значение e_ik обозначаем как ец). Направления же двух других главных осей (в плоскости, перпендикулярной к оптической оси) произвольны, а соответст­вующие главные значения диэлектрического тензора совпадают (ниже они обозначены е_±).

Если в уравнении Френеля (97,10) положить e^w = = е_х, е^(г) = ец, то выражение в его левой части распадается на два

квадратичных множителя:

(/г²—е_х) [е„ п\ + е_х (я² + я²) — е_хец] = 0.

Другими словами, уравнение четвертого порядка распадается на два уравнения второго порядка:

2

-Пу

1.

- +

(98,1) (98,2)

Геометрически это означает, что поверхность волновых векторов (в общем случае — поверхность четвертого порядка) распадается на две раздельные поверхности—сферу и эллипсоид. На рис. 53

+

/Т
(
	У	«а»

(Г

Рис. 53.

изображен продольный разрез этих поверхностей. Здесь возмож­ны два случая: если е_х > е_а, то сфера лежит вне эллипсоида, а если е_х < е_:1 — то внутри его (в первом случае одноосный крис­талл называют отрицательным, а во втором—положительным; рис. 53). Обе поверхности касаются друг друга в двух точ­ках— противоположных полюсах, лежащих на оси п_г. Иначе говоря, направлению оптической оси соответствует всего одно значение волнового вектора.

Аналогичный вид имеет лучевая поверхность. Согласно пра­вилу (97,19) ее уравнение получается из (98,1—2) в виде

s²=l/e_x, (98,3)

exs² + _ei!(s! + s²)=l. (98,4)

В положительном кристалле эллипсоид лежит внутри сферы, а в отрицательном—наоборот.

Таким образом, мы видим, что в одноосном кристалле могут распространяться волны двух типов. По отношению к одному из этих типов волн (так называемые обыкновенные волны) кристалл ведет себя как изотропное тело с показателем прелом­ления л = Уе_1_. Абсолютная величина волнового вектора равна соя/с вне зависимости от его направления, а направление луче­вого вектора совпадает с направлением п.

В волнах же второго типа (необыкновенные волны) величина волнового вектора зависит от угла 6 его наклона к оптической оси. Согласно (98,2)

1 sin²0 , COS²0 _/Г1о с\

^ = ^— + ~е • <⁹⁸'⁵>

Что касается лучевого вектора необыкновенной волны, то его направление не совпадает с направлением волнового вектора, но лежит в той же проходящей через оптическую ось плоскости (эту плоскость называют принадлежащим данному п главным се­чением). Пусть эта плоскость совпадает с плоскостью xz; про­дифференцировав левую сторону равенства (98,2) по п_г и по п_х и взяв отношение этих производных, найдем направление луче­вого вектора:

S_x _ ^е±^Пх

Другими словами, угол 6' между лучевым вектором и оптиче­ской осью связан с углом 6 простым соотношением:

tge'=-^t_ge. (98,6)

Направления п и s совпадают лишь для волн, распространяю­щихся вдоль оптической оси и перпендикулярно к ней.

Вопрос о направлении поляризации обыкновенной и необык­новенной волн решается очень просто. Для этого достаточно за­метить, что четыре вектора Е, d, s, п во всякой волне компла­нарны. В необыкновенной волне направления s и п не совпадают, но лежат в одном и том же главном сечении. Поэтому эта волна поляризована так, что векторы Е и d лежат в этом же сече­нии. С другой стороны, векторы d в обыкновенной и необыкно­венной волнах с одинаковым направлением п (или векторы Е при одинаковом направлении s) взаимно перпендикулярны. Поэтому поляризация обыкновенной волны такова, что Е и d лежат в плоскости, перпендикулярной к главному сечению.

Исключением являются лишь волны, распространяющиеся в направлении оптической оси. В этом направлении различие между обыкновенной и необыкновенной волнами исчезает, их поляриза­ции соответственно складываются, давая в общем случае эллип­тически поляризованную волну.

Явление преломления плоской волны, падающей на поверх'-ность кристалла, существенно отличается от преломления на гра­нице двух изотропных сред. Закон преломления (и отражения) и здесь получается из условия непрерывности касательной к плоскости раздела составляющей n_t волнового вектора. Поэтому волновой вектор преломленной (как и отраженной) волны лежит в плоскости падения. При этом, однако, в кристалле возникают одновременно две различные преломленные волны (двойное пре­ломление) соответственно двум возможным значениям нормальной компоненты п_п, даваемым уравнением Френеля при заданном n_t. Кроме того, необходимо помнить, что наблюдаемое направление распространения лучей определяется не волновым, а лучевым вектором s; оно отличается от направления пив общем случае лежит вне плоскости падения.

В одноосном кристалле при преломлении возникают обыкно­венная и необыкновенная преломленные волны. Первая полностью аналогична обычным преломленным волнам в изотропных телах; в частности, ее лучевой вектор (совпадающий по направлению с ее волновым вектором) лежит в плоскости падения. Направле­ние же лучевого вектора необыкновенной волны лежит, вообще говоря, не в плоскости падения.

Задачи

1. Найти направление необыкновенного луча при преломлении света (па­дающего- из пустоты) на поверхности одноосного кристалла, перпендикуляр­ной к его оптической оси.

Решение. Преломленный луч в данном случае остается в плоскости падения (которую выберем в качестве плоскости хг с осью г по нормали к поверхности). При преломлении сохраняется ^-компонента волнового вектора п_х = sind (т> — угол падения); компоненту п_г для преломленной волны нахо­дим по (98,2);

е, V/2

¹ sin²(

«11

Направление преломленного луча (Ь'—угол преломления) находим по (98,6):

У е_± sin ■&

tgd'

ⁿz ]Лгц(ец — sin² d)

2. Найти направление необыкновенного луча при нормальном падении света на поверхность одноосного кристалла с произвольно направленной оптической осью.

Решение. Преломленный луч лежит в плоскости хг, проходящей через нормаль к поверхности (ось г) и оптическую ось; угол между оптической осью и нормалью пусть будет а. Лучевой вектор (компоненты которого пропорцио­нальны производным от левой стороны уравнения (98,2) по соответствующим ком< онентам п) пропорционален

_{5+«-"(.тЧ)'}

S со

где 1 — единичный вектор в направлении оптической оси. В данном случае волновой вектор п направлен по оси г, так что

,1 1 \ sin² а , cos² а

со cos а sin а

tgf}' =

Отсюда находим для угла преломления т)':

s, (8|, —е.) sin 2а

^s* ^eii + s__L + (e_l|— e^Jcos 2а