§ 93. Поглощение электромагнитных волн на малых частицах

Рассеяние электромагнитных волн сопровождается одновре­менным их поглощением на частицах. Сечение этого процесса дается отношением средней диссипируемой (в 1 с) в частице энер­гии Q к плотности падающего потока энергии. Для вычисления Q можно при этом воспользоваться формулой

Q=—&G — -Mb, (93,1)

где $Р и Ж— полные электрический и магнитный моменты ча­стицы, а роль внешних полей С* и £» играют электрическое Е и магнитное Н поля рассеиваемой волны (ср. (59,11)).

Пользуясь комплексным представлением величин, пишем (см. примечание на стр. 284)

Q = -i-Re {#>Ё* + ЖН *} = f - V (а; + cQ | Е |²,

где а_е, а_т—электрическая и магнитная поляризуемости частицы. Разделив на падающий поток энергии, получим

a = ~{a_e + a_m)V. (93,2)

Применим эту формулу к поглощению на шарике радиуса а (а<^к), предполагая его вещество немагнитным (р=1). Характер поглощения существенно зависит от величины диэлектрической проницаемости.

Если s невелико, то наряду с а<^% имеем также и й<^8. В этом случае магнитной поляризуемостью можно пренебречь по сравнению с электрической. Взяв последнюю из (92,2), получим

12ясоа³е" ,_q„ „.

^а_с[(е'+2)²+е"Т (^У6'⁶>

а,„ =

Если же |е|^>1, то электрическая часть поглощения стано­вится малой и магнитное поглощение может стать существенным, даже если все еще 8^>а. При 6^>а (т. е. |&а|<^1) магнитная поляризуемость (см. задачу 2 §92)

(ka)² _ о²ш²е

40я 40лс²

и сечение поглощения

12я<аа³е" ( 1

При дальнейшем увеличении е электрическая часть поглоще­ния становится малой по сравнению с магнитной. В предельном случае 8<<са (т. е. |&а|^>1) имеем

__3_/ , _ 3<\ _3 / i?i£_r

8я\ &а / 8л V ^ша

где £=l/Ke — поверхностный импеданс шарика. Отсюда

ог = 6яа²£'. (93,5)

Заметим, что эту формулу можно было бы получить и более пря­мым путем, без использования общего выражения для магнитной поляризуемости шарика ct_m(co). При малом £ диссипация энергии Q может быть вычислена интегрированием среднего вектора Пойн­тинга (87,4) по поверхности шарика, причем распределение маг­нитного поля на поверхности дается решением (54,3) задачи о сверхпроводящем (£ = 0) шаре в однородном магнитном поле.

Зная сечение поглощения шариком, можно непосредственно определить интенсивность испускаемого им самим теплового излу­чения. Согласно закону Кирхгофа (см. V § 63) интенсивность dl (в интервале частот da>) выражается через от (со) формулой

dl = 4лсог (со) е₀ (со) dco, (93,6)

где

е„ И = г—

4л³с³ {e^ha/T — 1)

— спектральная плотность черного излучения, отнесенная к еди­нице объема и к единичному интервалу телесных углов.

§ 94. Дифракция на клине

Обычная приближенная теория дифракции (см. II §§ 59-—61) основана на предположении о малости отклонений от геометри­ческой оптики. Тем самым предполагается, во-первых, что все размеры велики по сравнению с длиной волны; это относится как к размерам тел (экранов) или отверстий в них, так и к рассто­яниям от тел до точек испускания и наблюдения света. Во-вторых, рассматриваются лишь малые углы дифракции, т. е. распределе­ние света по направлениям, близким к направлению границы гео­метрической тени. В этих условиях конкретные оптические свой­ства вещества тел вообще несущественны; существен лишь самый факт непрозрачности экранов.

§94]

ДИФРАКЦИЯ НА КЛИНЕ

447

Если же указанные условия не выполнены, то решение задачи дифракции требует точного решения волнового уравнения с уче­том соответствующих граничных условий на поверхности тел, зависящих от их конкретных свойств. Нахождение таких решений представляет исключительные математические трудности и произ­ведено лишь для сравнительно небольшого числа задач. При этом обычно делается определенное упрощающее предположение о свой­ствах тела, на котором происходит дифракция: оно предполага­ется идеально проводящим (и тем самым, с оптической точки зрения, идеально отражающим).

Отметим в этой связи следующее обстоятельство. Могло бы показаться естественным решать задачу дифракции, предполагая поверхность тела «черной», т. е. полностью поглощающей падаю­щий на нее свет. В действительности, однако, в постановке точ­ной задачи дифракции такое предположение о свойствах тела было бы внутренне противоречивым. Дело в том, что если само вещество тела является сильно поглощающим, то коэффициент отражения от его поверхности не мал, а, напротив, близок к еди­нице (см. § 87). Поэтому осуществление близкого к нулю коэф­фициента отражения требует слабо поглощающего вещества, но зато достаточно большой (по сравнению с длиной волны) толщи­ны тела. В точной же теории дифракции неизбежно играют су­щественную роль участки поверхности тела вблизи (на расстоя­ниях порядка длины волны) его края; но толщина тела вблизи его края во всяком случае мала, так что предположение о его «черноте» здесь заведомо не будет справедливым.

Существенный теоретический интерес представляет точное ре­шение задачи о дифракции света от края идеально проводящего клина, ограниченного двумя пересекающимися полуплоскостями (A. Sommerfeld, 1894). Полное изложение этой сложной матема­тической теории, требующей применения особых математических приемов, выходит за рамки настоящей книги. Мы изложим здесь для справочных целей лишь окончательные результаты¹).

*) Подробное проведение вычислений можно найти в книгах: Зоммерфельд А. Оптика.—М.: ИЛ, 1953; Франк Ф. и Мизес Р. Дифференциальные и интеграль­ные уравнения математической физики,—М.: ОНТИ, 1937, ч. 2, гл. XX. Другой метод решения, принадлежащий М. И. Конторовичу и Н. Н. Лебедеву. изложен в книге: Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений.— М.: Изд. АН СССР, 1948, гл. ХХП.

Выберем край клина за ось г цилиндрической системы коор­динат г, ф, г. Передней поверхности клина (OA на рис. 48) со­ответствует ф = 0, а задней (ОВ) ц> = у, где 2я—у—угол раствора клина; области вне клина соответствуют углы О^ф^у. Пусть плоская монохроматическая волна с равной единице амплитудой падает в плоскости г, ф на переднюю поверхность клина под углом ф₀ к ней (ввиду симметрии клина достаточно рассматривать значения ф₀ < у/2). Будем различать два независимых случая по­ляризации падающей (а с нею и дифрагированной) волны: когда краю клина (оси г) параллелен вектор Е или вектор Н. Буквой и обозначается в этих случаях соответственно Е_г или H_z.

Электромагнитное поле во всем пространстве дается тогда формулой (временной множитель е~^ш везде опускаем)

и(г, ф) = у(г, ф—Фо)Ту(г, ф + Фо), (94,1)

где верхний и нижний знаки отвечают соответственно поляриза­циям с Е и Н вдоль оси г, а функция v(r, ■§) определяется ком­плексным интегралом

^{v(r, = t}_T^-_ri^{g_ (94,2)}

с

(k — oi/c). Путь интегрирования (С = С₁ + С₂ в плоскости £ состоит

Рис. 48. Рис. 49.

из двух петель, изображенных на рис. 49. Концы этих петель уходят на бесконечность в тех частях плоскости £ (заштрихован­ных на рис. 49), в которых lm(cos£)<0, и потому множитель ехр(—tftrcos£) стремится к нулю на бесконечности. Подынте­гральное выражение в (94,2) имеет полюсы, лежащие на вещест­венной оси £ в точках £= —ty-\-2ny, где п-—целые числа. Вместо пути С можно производить интегрирование по пути D = D₁A_rD₂ (рис. 49), добавив к интегралу вычеты подынтегрального выра­жения в полюсах, расположенных на отрезке —я<!£<;я, если таковые имеются. Представим v в виде

v{r, 4>) = 0.C. V) + *>d(r, Ч>), (94,3)

где v_d—интеграл (94,2), взятый по пути D, a v₀ — вклад, проис­ходящий от вычетов в указанных полюсах. От каждого полюса возникает в v₀ член, равный

ехр [—ikr cos (ijj—2п у) ],

изображающий собой либо падающую волну, либо одну из волн, отраженных от поверхности клина по законам геометрической оптики. Функция же v_d описывает собственно дифракционное ис­кажение волн. Наибольший интерес представляет поле на боль­ших (по сравнению с длиной волны) расстояниях от края клина. При kr^>\ справедлива асимптотическая формула¹)

,, /_{г Л}\Л— ^я pjikr+au) sin(rc²/-y) (94 4)

*^К,^^]~уУШг cos K/_V)-cos (Щ/уУ

(94,5)

если только угол "ф удовлетворяет условию

I Я² Я1Ь\2^ 1

cos cos — 3>-r .

V У У 1 ^ kr

Зависимость функции v_d, а с нею и поля

u_d(r, (p) = v_d(r, Ф —9„) + y_d(r, Ф + ф₀)

от г дается множителем е'^кг'/Уг , т. е. это поле имеет характер цилиндрической волны, как бы излучаемой краем клина.

В написанном виде формулы (94,1—5) справедливы при лю­бых значениях углов у и ф₀. Более подробное обсуждение этих формул мы для определенности произведем при таком соотноше­нии между углами у и ф₀ (у > я -j- ф₀), которое приводит, сточки зрения геометрической оптики, к возникновению двух границ: границы Ob полной тени (область /// на рис. 48) и границы Оа «тени» волны, отраженной от поверхности OA. На рис. 48 ф„ < я/2; если же ф₀ > я/2, то граница Оа лежит справа от на­правления падающей волны. При у < я -\- ф₀ область полной тени вообще отсутствует, а отражение (одно- или даже многократное) происходит от обеих сторон клина.

В областях /, //, /// функция

и₀(г, ф) = у₀(г, ф — 4>₀)=Fv₀(r, ф + ф₀)

имеет следующий вид:

в области I и₀ = ехр[—ikr cos (ф — ф₀)]+ехр [ — ikr cos (ф + ф₀)], в области // ы₀ = ехр[ — iftrcos(ф—ф₀)], (94,6)

в области /// и₀ — 0.

Эти выражения, не обращающиеся в нуль при kr—+oo, описы­вают не искаженные дифракцией падающую (в области //) или совокупность падающей и отраженной (в области /) волн. Ди­фракционное же искажение поля дается формулой (94,4), но условие (94,5) нарушается при значениях г|з, слишком близких к

^х) Следующие члены этого асимптотического разложения — см. Pauli W,— Phys. Rev., 1938, v. 54, p. 924.

я (когда разность I4¹—я| перестает быть малой по сравнению с l/V~kr).

Значения г|э = я соответствуют геометрическим границам тени; при г|з = ф — ф₀ это есть граница полной тени, а при "Ф = ф + Фо— граница тени отраженной волны. В непосредственной близости этих значений надо применять другое асимптотическое выраже­ние, справедливость которого требует лишь соблюдения неравен­ства |г|з — я|<^1. Это условие вместе с условием kr^>l как раз обеспечивает применимость обычной приближенной теории диф­ракции Френеля. В соответствии с этим, вблизи границы Ob полной тени получается следующее асимптотическое выражение:

и (г, ф) = ехр[ — ikrcosiw — ф₀)1 \ е¹^^г dri,

^Y0/V2n j (94,7)

w ■■

-(ф — Фо — n)Vkr/2.

Аналогично вблизи границы Оа тени отраженной волны и (г, ф) = ехр[ — ikr cos {ц> — ф₀)] +

+ ехр[-^гсо8(ф + Фо)]^= fe'4'dti, (94,8)

w= —(ф + фо — п)У kr/2.

В этом приближении дифракционная картина не зависит от на­правления поляризации волны и от угла раствора клина.

Области применимости формул (94,4) и (94,7—8) частично перекрываются. Так, вблизи границы полной тени совместная область применимости дается неравенствами

1>|ф — ф₀ — л\^> l/Vkr,

и в ней

и(г, _Ф) = _Во(г, _Ф) + ^е'^"_ф_^__я (94,9)

(с ы₀ из (94,6)). Из (94,7) это выражение получается с помощью известных асимптотических формул для интеграла Френеля при больших \w\:

w

^j _e^{^dr\ = (l + i) Y\ + Ше™г при w > 0,}

eW d-n = ^- e^iw° при w < 0. ¹ 2iw ^r