результату:

(32,9)

В § 14 на основании формулы (11,7), аналогичной формуле (32,5), было сделано заключение о положительности электрической восприимчивости вещества. В магнитном случае, однако, такой вывод не может быть сделан, и магнитная восприимчивость мо­жет иметь оба знака. Причина этого существенного различия заключается в том, что гамильтониан системы движущихся за­рядов в магнитном поле содержит не только члены, линейные по полю (как в электрическом случае), но и квадратичные члены. Поэтому при определении изменения свободной энергии тела в магнитном поле с помощью теории возмущений по формуле (14,2) вклад будут давать не только члены второго, но и первого при­ближения. Никаких общих заключений о знаке изменения при этом нельзя сделать; у парамагнитных тел оно положительно, а у диамагнитных—отрицательно.

В § 14 были сделаны заключения о направлении движения тел в электрическом поле. Аналогичные выводы следуют также и из формулы (32,9). Однако ввиду того, что р, может быть как больше, так и меньше 1, направление движения тел в магнитном полене универсально. Так, в квазиоднородном поле парамагнитные тела (u. > 1) перемещаются в направлении увеличения напряженности, а диамагнитные тела (р < 1) — в направлении уменьшения Н.

§ 33. Энергия системы токов

Рассмотрим систему проводников с текущими по ним токами. Предположим, что ни сами проводники, ни среда, в которой они находятся, не ферромагнитны, так что везде В = рН. Со­гласно § 31 полная свободная энергия системы выражается через создаваемое токами магнитное поле посредством

(33,1)

Мы опустили здесь постоянную (при заданной температуре тел) величину f ₀, не имеющую отношения к токам. Интегрирование в (33,1) производится по всему пространству, как внутри, так и вне проводников.

Эту же энергию можно выразить и через токи интегралом

(33,2)

(ср. переход от (31,2) к (31,8)). Интегрирование производится здесь уже только по объему проводников, так как вне их j = 0.

В силу линейности уравнений поля магнитное поле можно представить в виде суммы полей, которые создавались бы каждым током в отдельности, если бы в остальных проводниках токи

отсутствовали: Н = 2Н_а. Тогда полная свободная энергия (33,1) примет вид

^ = 2^аа+ 2 ^аЬ, (33,3)

а а> b v » /

где

¥_aa = ±^H_aB_adV, ¥_ab = ±<^H_aB_bdV (33,4)

(в ¥_ab-¥_ba учтено, что НД, = иИ_аН_ь = Н_ьВ_а, где р,—магнит­ная проницаемость в каждой данной точке пространства). Вели­чину ¥_аа можно назвать собственной свободной энергией токов а-го проводника, а ¥_аЬ— энергией взаимодействия проводников а и Ь. Надо, впрочем, иметь в виду, что такие названия имеют буквальный смысл, лишь если пренебречь магнитными свойст­вами вещества как самих проводников, так и среды. В против­ном случае поле (а потому и энергия) каждого тока зависит также и от расположения и магнитной проницаемости остальных проводников.

Величины (33,4) можно выразить также и через токи ]_а в каждом из проводников, в соответствии с формулой (33,2),

^{^aa=i^LKdVa, ¥} _ab^=\Jj_a^A₆^{dV = j-Jj}₆^A_a^dV_b^{. (33,5)}

Интеграл в ¥_aa берется здесь только по объему a-го проводни­ка, а ¥_аЬ представляется в виде любого из двух выражений, в которых интегрирование производится соответственно по объему проводника а или Ь.

При заданном законе распределения плотности тока по объему проводника значение ¥_аа зависит только от полной силы тока J_a, протекающего через его поперечное сечение. При этом вели­чине J_a будут пропорциональны как плотность j, так и созда­ваемое током поле. Поэтому весь интеграл ¥_аа пропорционален Ja- Его пишут в виде

¥ аа — 2^2 E_aaJat (33,6)

где L_aa называют коэффициентом самоиндукции проводника. Аналогичным образом энергия взаимодействия двух токов про­порциональна произведению J_aJ_b:

eF_ab ⁼ ~^2 L_abJ_aJ_b. (33,7)

Величину L_ab называют коэффициентом взаимной индукции про­водников. Таким образом, полная свободная энергия системы

токов

а а> b

а Ь

(33,8)

Условие положительной определенности этой квадратичной формы накладывает ряд ограничений на значения коэффициентов, В частности, все L_aa > 0, а

I ^> 1²

'aa'-'bb ^ ^L-^Iab-

Вычисление энергии токов в общем случае произвольных массивных проводников требует полного решения уравнений поля и представляет собой сложную задачу. Она упрощается, если магнитную проницаемость как самих проводников, так и среды можно положить равной единице. Отметим, что при этом энер­гия токов вообще перестает зависеть от термодинамического со­стояния (в частности, от температуры) тел, а потому во всех написанных выше формулах можно с одинаковым правом гово­рить как о свободной энергии, так и просто об энергии.

При u = 1 векторный потенциал поля, создаваемого токами j, дается формулой (30,12). Поэтому для собственной энергии про­водника получим

(33,9)

где оба интегрирования производятся по объему данного про­водника, a R есть расстояние между dV и dV. Аналогичным образом, взаимная энергия двух проводников

(33,10)

где dV_a и dV_b элементы объема каждого из проводников.

Особенно просто вычисляется взаимная энергия двух линей­ных токов. Переход от объемных токов к линейным в формуле (33,10) осуществляется заменой ]_adV_a и \_bdV_b соответственно на J_ad\_a и J_bd\_b, и мы находим, что коэффициент взаимной индук­ции есть

В этом приближении, следовательно, L_ab зависит только от фор­мы, размеров и взаимного расположения обоих контуров и не зависит от распределения тока по сечению проводов. Подчерк­нем, что для получения такой простой формулы в случае линей­ных проводников не требуется даже предположения о том, что везде ,11=1. В приближении, в котором мы пренебрегаем тол­щиной проводов, магнитные свойства их материала вообще не

влияют на создаваемое ими поле, а потому и на их взаимную энергию. Отличная же от 1 магнитная проницаемость р среды, окружающей провода, согласно (30,15) просто увеличивает в р раз векторный потенциал (а с ним и индукцию) магнитного поля. Во столько же раз увеличится, следовательно, и коэффициент взаимной индукции, так что будет

L_ab = vj§^d^. (33,11)

Что касается коэффициента самоиндукции линейных провод­ников, то его вычисление представляет значительно большие трудности; этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе.

Полную энергию системы линейных токов можно написать еще и в другом виде. Для этого вернемся к интегралу (33,2), который для линейных токов принимает вид

а

где А—векторный потенциал полного поля в точке d\_a a-vo проводника. Основная погрешность, которую мы допускаем при переходе от (33,2) к (33,12), заключается в пренебрежении из­менением поля (в том числе собственного поля данного тока) вдоль поперечного сечения провода. Каждый из стоящих в (33,12) контурных интегралов преобразуется в интеграл по поверхности:

$AdI_e=$rotA-df_e = SBdf_e,

т. е. представляет собой поток магнитной индукции (или, как говорят, магнитный поток) через контур а-го тока. Будем обо­значать этот поток посредством Ф₀. Таким образом,

Г = ^£/_аФ_а. (33,13)

а

Аналогичным образом выражается через магнитный поток свободная энергия ¥ линейного тока / во внешнем магнитном поле, т. е. энергия, в которую не включается собственная энер­гия источников поля. Очевидно, что

<Г = -^-/Ф, (33,14)

где Ф есть поток внешнего поля через контур тока /. Если внешнее поле однородно (а у среды р= 1), то Ф = £> \ df. Вводя магнитный момент тока согласно (30,18), получим ¥ = Jlf£.

Зная энергию системы токов как функцию их размеров, формы и взаимного расположения, можно определить действую­щие на проводники силы просто путем дифференцирования по соответствующим координатам. При этом, однако, возникает вопрос о том, какие характеристики токов надо при дифферен­цировании полагать постоянными. Наиболее удобно производить вычисления при постоянных токах. Но в этом случае роль сво­бодной энергии играет величина ¥'. Поэтому обобщенная сила F_q, действующая «вдоль» обобщенной координаты q, есть

F =-(Щ

Индексы у производной означают, что дифференцирование про­изводится при постоянных силах тока и постоянной температуре тел. Поскольку мы опускаем в свободной энергии постоянную часть, не зависящую от токов, то ¥ я ¥ различаются только знаком, так что

'.--(£),-V.> (33,15,

(индекс Т у производных здесь и ниже для краткости опускаем).

В частности, силы, действующие на проводник со стороны его собственного магнитного поля, определяются по формуле

^F« = i^J2lk> (³³>¹⁶)

где L—самоиндукция проводника. Характер действия этих сил заранее очевиден из следующих соображений. При заданном значении силы тока (и температуры) величина ¥ стремится к минимуму. Поскольку в данном случае ¥ = — LJ²/2c², то это значит, что действующие на проводник силы будут стремиться увеличить его коэффициент самоиндукции. Но последний как величина с размерностью длины пропорционален размерам про­водника. Таким образом, под влиянием магнитного поля объем проводника увеличивается.

Для тока во внешнем магнитном поле имеем¹):

<F = — <F = — MS?. (33,17)

^х) Отсутствие здесь (по сравнению с формулой (32,6)) множителя V₂ свя­зано с тем, что магнитный момент тока в (33,17) есть постоянная величина, не зависящая от поля, между тем как фигурирующий в (32,6) магнитный мо­мент магнетика сам возникает только под действием поля.

Во всех написанных выше формулах для энергии предпола­гается линейная связь между индукцией и напряженностью маг­нитного поля. В общем же случае произвольной связи можно установить аналогичные дифференциальные соотношения. Изме­нение свободной энергии при бесконечно малом изменении поля (при постоянной температуре) есть согласно (31,8) или, для системы линейных токов,

с

Поступая далее так же, как при переходе от (33,12) к (33,13), получим ¹)

а

Аналогичным образом найдем из (31,9)

б#=—^£Ф_аб/_а. (33,19)

а

Можно сказать, что для системы линейных токов ¥ явля­ется термодинамическим потенциалом по отношению к магнит­ным потокам, a ¥—по отношению к силам токов, причем эти два потенциала связаны друг с другом посредством

а

Таким образом, при любых магнитных свойствах вещества спра­ведливы термодинамические соотношения

(33,21)

Если применить эти формулы к случаю линейной связи, когда ¥ дается формулой (33,8), то мы получим

ь

²) Отметим очевидную аналогию между формулами (33,18) в магнитном и (10,13) в электрическом случаях. При этом роль зарядов в магнитном случае играют потоки индукции. Эта аналогия имеет наглядное физическое истолко­вание. Подобно тому, как электрическое поле может поддерживаться без за­траты энергии извне зарядами на изолированных проводниках, магнитное поле можно поддерживать без подвода энергии извне сверхпроводящими соленоида­ми, магнитные потоки через которые остаются постоянными. Рхтественно поэтому, что изменение свободной энергии ¥ ^в электрическом и магнитном случаях определяется соответственно изменениями зарядов или потоков ин­дукции.

Таким образом, коэффициенты индукции оказываются коэффи­циентами пропорциональности между магнитным потоком и си­лами токов, создающих магнитное поле. Произведение L_abJ_b/c есть магнитный поток, создаваемый током J_b (Ь=фа) через кон­тур тока J_а, a L_aaJjc—поток через тот же контур, создаваемый самим током J „.