§66] Диссипативные процессы в магнитной гидродинамике 317

Переходя от бесконечно близких точек к точкам, находящим­ся на любом конечном расстоянии друг от друга, мы приходим к выводу, что каждая силовая линия перемещается вместе с находящимися на ней жидкими частицами. Можно сказать, что (при а —>- оо) магнитные силовые линии как бы вморожены в вещество жидкости, перемещаясь вместе с ним. Величина же Я/р меняется в каждой точке пропорционально растяжению соответ­ствующей «жидкой линии». Если движущуюся жидкость можно считать несжимаемой, то р = const и тогда пропорционально рас­тяжению силовых линий меняется сама напряженность Я.

Эти результаты имеют и другой наглядный аспект. Из них следует, что при перемещении со временем какого-либо замкну­того жидкого контура он не будет пересекать силовых линий. Это значит (ср. § 63), что поток магнитного поля через всякую поверхность, опирающуюся на жидкий контур, остается неизмен­ным во времени.

§ 66. Диссипативные процессы в магнитной гидродинамике

В обычной гидродинамике диссипативные процессы определя­ются тремя величинами—двумя коэффициентами вязкости и коэф­фициентом теплопроводности. В магнитной гидродинамике это число значительно возрастает: как ввиду появления новых вели­чин электрической природы, так и вследствие наличия в каждой точке выделенного направления — направления Н, чем нарушается изотропия жидкости. Мы ограничимся, однако, простейшим слу­чаем, когда все кинетические коэффициенты можно считать по­стоянными вдоль среды, в частности — не зависящими от величины и направления магнитного поля. Тогда к обычным коэффициентам вязкости г], £ и теплопроводности х добавляется всего одна ве­личина— электрическая проводимость а¹).

*) Связь между током и электрическим полем в термодинамически неод­нородной, но изотропной в каждой точке среде содержит еще и термоэлектри­ческий коэффициент а (§ 26). Но если этот коэффициент постоянен, он выпа­дает из уравнений движения.

²) Вопрос об уравнениях магнитной гидродинамики для плазмы при на­рушении этих условий рассмотрен в другом томе этого курса—см- X §§ 58, 59.

Предположение о независимости кинетических коэффициентов от магнитного поля подразумевает выполнение определенных условий, существенно сужающих область применимости уравне­ний по сравнению с уравнениями магнитной гидродинамики иде­альной жидкости. Именно, длина пробега носителей тока должна быть мала по сравнению с радиусом кривизны их траектории в магнитном поле; другими словами, частота столкновений должна быть велика по сравнению с ларморовской частотой носителей тока. Это условие нарушается в слишком разреженной среде или в слишком сильном магнитном поле'²).

При учете вязкости и электропроводности уравнение (65,2) заменяется полным уравнением (63,7),

ft = rot[vH]+j£-AH, (66,1)

а магнитогидродинамическое уравнение Эйлера (65,4) заменяется уравнением Навье—Стокса

l + (vV)v=-|vP + ^Av + |(^ + l)vdivv-_ii-[HrotH].

(66,2)

Отметим, что уравнение (66,1) не содержит вязкости; поэтому свойство «вмороженности» силовых линий при о —>- оо остается и в вязкой идеально проводящей жидкости.

Уравнение адиабатичности (65,6) заменяется уравнением пе­реноса тепла. В обычной гидродинамике оно гласит

P^T(lf + ^vV^s)=^£ + div(xvT)

(см. VI § 49). Выражение в левой стороне равенства представ­ляет собой количество тепла (отнесенное к 1 см^:!), выделяющееся в 1 с в движущемся элементе жидкости. Выражение же в правой стороне равенства есть энергия, диссипируемая в том же объеме за то же время. Первый член в нем связан с вязкостью; a'_ik есть вязкий тензор напряжений

^=ъ (ё+1|-4 ^б<-*^{div v})+^{div v}-

Второй же дает диссипацию, связанную с теплопроводностью. В проводящей жидкости сюда должно быть добавлено джоулево тепло. Отнесенное к единице объема, оно равно

:2 _г2

а 16я²ст ^v '

Поэтому уравнение переноса тепла в магнитной гидродинамике гласит

РТ (£ + v Vs) = a;, g + х AT + -jilj (rot H)². (66,3)

В тензоре плотности потока импульса добавляется вязкий тен­зор напряжений:

^ik = PViV_k + P^_k-o'_ik~ (я,-Я*-у Я²б,.^ . (66,4)

Плотность же потока тепла дается теперь выражением q = pv (£ + w) -(vo')-y. + ± [H [_VH]]-^ [H rot H]

(66,5)

(где (va') — вектор с составляющими a'_ikv_k). Здесь добавляются члены, связанные как с вязкостью и теплопроводностью, так и с электрической проводимостью; последний получается при под­становке в вектор Пойнтинга напряженности Е из (63,2):

Е = ——- [vH] =-—- rot Н -IvHl. (66,6)

а с ^{L J} чла с ^L > v » /

Уравнения несколько упрощаются, если движущуюся жидкость можно считать несжимаемой. Уравнение непрерывности сводится тогда к divv = 0, а в уравнении (66,2) исчезает предпоследний член. Выпишем еще раз соответствующую систему уравнений (в уравнениях (66,1 — 2) удобно при этом преобразовать члены rot[vH] и [Н rot Н] с помощью известных формул векторного анализа):

divH=0, divv=0, (66,7)

|l + (vV)H=(HV)v+^AH, (66,8)

^{|f + (vV) v = -1 V (p + -§) -}- ^ (HV) H + v}_A^{v (66,9)}

(v = r)/p —кинематическая вязкость). Что касается уравнения (66,3), то для решения задач о движении несжимаемой жидкости оно не нужно, если только мы не интересуемся специально рас­пределением температуры в ней.

В обычной гидродинамике вводится, как известно, число Рей-нольдса, характеризующее роль вязких членов в уравнениях дви­жения по сравнению с конвекционными: R = «//v, где / и и ~ //т — характерные параметры длины и скорости для данного движения жидкости. Наряду с этим числом, в магнитной гидродинамике можно ввести магнитное число Рейнольдса

характеризующее роль члена с проводимостью в уравнении (66,1). Этот член аналогичен члену vAv в уравнении Навье—Стокса, и величина v_m играет роль «коэффициента диффузии» магнитного поля. При R_m^>l может оказаться возможным пренебрежение этим членом. Однако, вопрос о том, в каких случаях фактически можно пренебречь диссипативными процессами в жидкости, не имеет общего ответа, так как соответствующие условия сущест­венно зависят от конкретного характера движения; например, они совершенно различны для стационарных и нестационарных дви­жений.

В обратном предельном случае плохо проводящей жидкости, R_m<^cl, система магнитогидродинамических уравнений допускает существенное упрощение (С. И. Брагинский, 1959).

Дело в том, что в этом случае возмущение магнитного поля движением жидкости мало. Если невозмущенное поле & не зависит от времени (что и предполагается ниже), то его изменение Н' в движущейся жидкости можно оценить из сравнения двух членов в правой стороне уравнения (66,1):

rot [v.s>] ~ v_mAH',

откуда Я'~ R_m.<d и при R_m<^l действительно Н' <<6ft . Прене­брегая этим изменением, можно считать магнитное поле Н сов­падающим с тем (£>), которое было бы создано внешними источни­ками в пустоте. При этом, ввиду постоянства £>, имеем rot Е = = — c~¹d^>/dt = 0, т. е. электрическое поле потенциально: Е= — у ср. Уравнение для потенциала ср можно получить из равенства div j= О, удовлетворяющегося тождественно при пренебрежении током сме­щения (т. е. в силу уравнения rot Н =4я|'с). Подставив сюда плотность тока в виде

j = o-( — V<P+-J-[v$])

и заметив, что для невозмущенного поля rot.*g> = 0, получим (при а=const) уравнение

Дер = 1 & rot v. (66,11)

Вторым уравнением является уравнение Навье — Стокса

fj+(vV)v=--iv/> + vAv + f (66,12)

(выписываем его для несжимаемой жидкости), в котором объемная плотность сторонних сил

f = 7- Ш = т {[* ^+т l> Ml} • (⁶⁶-¹³)

Уравнения (66,11—13) и составляют искомую систему.