§ 35. Силы в магнитном поле

Для определения сил, действующих на вещество в маг­нитном поле, нам почти не понадобится производить новых вычислений ввиду полной аналогии с электрическим случаем. Аналогия связана, прежде всего, с тем, что выражения для термо­динамических величин в магнитном поле отличаются от выра­жений в электрическом поле лишь заменой букв Е, D соответ­ственно на Н, В. При вычислении тензора напряжений в § 15 была использована потенциальность электрического поля, являю­щаяся следствием уравнения rotE=0. Магнитное же поле удов­летворяет уравнению

rotH=^j, (35,1)

сводящемуся к rotH=0 лишь в отсутствие токов проводимости. Но при вычислении тензора напряжений вообще следует всегда полагать j = 0. Поскольку j связано с производными от магнит­ного поля, то учет токов при вычислении напряжений означал бы введение в тензор напряжений o_ik исчезающе малых поправок, связанных с неоднородностью поля (ср. примечание на стр. 92).

Таким образом, все полученные в §§ 15 и 16 формулы для тензора напряжений непосредственно переносятся на магнитное поле. Так, в жидкой среде при линейной связи В = р,Н имеем

^=-Р„(р, Т)8_1к-£\»-_Р(^)_т]в_1к + Щ&. (35,2)

Объемные силы вычисляются отсюда согласно Д. = do_ik/dx_k. Если среда является проводящей и в ней течет ток, то вычисле­ние отличается от произведенного в § 15 тем, что вместо урав­нения rotH=0 имеем уравнение (35,1).

Дифференцируя (35,2) и учитывая при этом равенство div В = div (u.H) = 0, находим

^f = -^o + ^v[^p(^)J-|lv,-^V^ + ^(Hv)H. Но, согласно известной формуле векторного анализа,

(Н V) Н = j grad Я²-[Н rot Н] = i grad Я? + Щ. [JH], и окончательно

^{f = - + ^ grad [Я*р (£) J _|> + £ [JH]. (35,3)}

По сравнению с аналогичной формулой (15,12) здесь добав­ляется еще один (последний) член. Было бы, однако, неправиль­ным думать, что появление этого члена означает физическую возможность отделить в f силу, связанную с током проводимости, от других эффектов. Дело в том, что ввиду уравнения (35,1) ток j неотделим от неоднородности поля, а производные от поля по координатам входят и в другие члены в (35,3). При заметно отличной от 1 магнитной проницаемости вещества все члены в (35,3), вообще говоря, одного порядка величины.

Но если, как это обычно бывает, ц. близко к 1, то при нали­чии тока проводимости последний член в (35,3) дает основной вклад в силу, по сравнению с которым остальные члены являются лишь несущественной малой поправкой. Тогда при вычислении сил можно полагать и. = 1, и мы имеем просто

(35,4)

(член — ^Р„ здесь и ниже нас не интересует, и мы его опускаем). При и.= 1 свойства вещества вообще никак не отражаются на магнитных явлениях и выражение (35,4) для силы в равной степени относится как к жидким, так и твердым проводникам. Полная сила, действующая в магнитном поле на проводник с током, дается интегралом

(35,5)

Формулу (35,4) можно, разумеется, весьма просто получить и непосредственно на основании известного выражения лоренцевой силы. Макроскопическая сила, действующая в магнитном поле на неподвижное тело, есть не что иное, как усредненное значе­ние лоренцевых сил, действующих на составляющие тело заря­женные частицы со стороны микроскопического поля h:

f = 7-[pv-h].

Но при р,= 1 поле h совпадает со средним полем Н, а среднее значение pv совпадает с плотностью тока проводимости.

При движении проводника силы (35,4) производят над ним некоторую механическую работу. На первый взгляд может пока­заться, что здесь имеется противоречие с тем, что лоренцевы силы не производят над движущимися зарядами никакой работы. В действительности, конечно, никакого противоречия нет, так как в движущемся проводнике в работу лоренцевых сил входит не только механическая работа, но и работа электродвижущих сил, индуцированных в проводнике при его движении. Эти две работы равны по величине и противоположны по знаку (см. при­мечание на стр. 304).

В выражении (35,4) Н есть истинное значение магнитного поля, создаваемого как посторонними источниками, так и самими токами, на которые эта сила действует. Однако при вычислении полной силы согласно (35,5) можно понимать под Н лишь внеш­нее поле ф, в которое вносится проводник с током. Собствен­ное поле, производимое данным проводником, в силу закона сохранения импульса не может дать вклад в действующую на него самого полную силу.

Вычисление сил особенно просто для линейного проводника. Магнитные свойства его вещества вообще несущественны, а если в среде р,= 1, то полная действующая на него сила дается ли­нейным интегралом

F=-^[dl-fc]. (35,6)

Это выражение можно представить и в виде интеграла по поверх­ности, охватываемой контуром тока. Заменяя согласно теореме Стокса dl оператором [df-v], получим

^[dl-ft]=S[[df-V]*].

Далее пишем:

[[di ■ V] Ф] = — df div ф + V (df ■ Ф) =

= — dt div ь + [di • rot $] + (div) Ф. Ho div£ = 0, а в пространстве вне токов также и rot$=0. Таким образом,

F^jVv).*. (35,7)

В частности, в квазиоднородном внешнем поле можно вы­нести ф вместе с оператором V из-под знака интеграла. Вводя также магнитный момент тока согласно (30,18), мы придем тогда к естественному результату:

F = (J*fV)*. (35,8)

Поскольку Ж в этой формуле есть постоянная величина, то можно написать F также и в виде

F=grad(3f£) (35,9)

(что находится в соответствии с выражением (33,17) для энергии тока). Момент же сил, действующих на ток в квазиоднородном поле, как легко убедиться, равен обычному выражению

К = [ЖФ]. (35,10)

Задача

Определить силу, действующую на линейный прямой провод с током J, расположенный параллельно бесконечному круговому цилиндру (с магнитной проницаемостью jj.) радиуса а на расстоянии / от его оси.

Решение. Ввиду указанного на стр. 160 соответствия между плоскими задачами электро- и магнитостатики, поле тока определяется путем измене­ния обозначений в решении задачи 3 § 7. Поле в пространстве вокруг ци­линдра совпадает с полем, которое создавалось бы в пустоте током J и то­ками -\-J' и —J', проходящими соответственно через точки Л и О' (см. рис. 12), причем

|г + 2

Поле же внутри цилиндра совпадает с полем, которое создавалось бы током

2

|г+Г

проходящим через точку О. Сила, действующая на единицу длины проводника,

F-L 1R-²JJ1 (Л L\ 2А»«(|г-1)

с с² \ОА ОО') 6(6²-а²)(ц-|-1)с²"

Аналогичным образом найдем (см. задачу 4 § 7), что линейный проводник, проходящий внутри цилиндрического отверстия в ма1Иитной среде, притяги­вается к ближайшей части поверхности отверстия с силой

'(a² — ft²) (ц+ 1)е²'