§ 67. Магнитогидродинамическое течение между параллельными плоскостями

Поучительный пример магнитогидродинамического движения вязкой проводящей жидкости представляет стационарное течение в пространстве между двумя параллельными твердыми плоскостями, причем в перпендикулярном плоскостям направлении приложено однородное магнитное поле $? (J. Hartmann, 1937). Это движение —

простейший аналог пуазейлевого течения в обычной гидродина­мике.

Естественно предположить, что скорость жидкости имеет везде одинаковое направление (которое выберем в качестве оси х)\ она зависит только от координаты z в направлении, перпендикулярном к твердым плоскостям. То же относится и к возникающему благо­даря движению жидкости продольному полю Н_х. Давление же Р зависит также и от х, так как в направлении движения имеется градиент давления, поддерживающий стационарное течение. Урав­нение divv = 0 выполняется тождественно, а из уравнения divH = 0 следует, что #_г =const =.£>. В силу г-компоненты уравнения (66,9) сумма

Р+ —

является функцией только х. Поскольку в то же время Н_х от х не зависит, то градиент давления dP/dx мог бы быть функцией только х, а фактически (ввиду однородности вдоль оси х) равен постоянной величине —АР/1 (АР — падение давления на длине/). Далее, ^-компоненты уравнений (66,8 — 9) дают

«|+£т£ = 0. (67,1)

Граничные условия на твердых поверхностях требуют равенства нулю скорости вязкой жидкости, а также непрерывности танген­циальной составляющей напряженности магнитного поля:

и = 0, Н_х = 0 при z = ±a,

где 2а— расстояние между твердыми плоскостями, а плоскость z = 0 расположена посередине между ними. Удовлетворяющее этим условиям решение уравнений (67,1 — 2) есть

ch (а/б)—ch (г/б) _fi __с_ f _п_ ⁰ ch(a/6)—1 ' & V а '

4я -I/ — (г/a) sh (а/б) —sh (г/б) (⁶7,3)

ch(a/6)-l ' §

"х- ⁰ с ^ ch (а/6) —1

Постоянная v₀ есть скорость жидкости в средней плоскости z=0. Ее связь с градиентом давления можно получить, подставив (67,3) в (67,2). Средняя (по сечению) скорость жидкости

If, ДРаб ( ,, а 6 \ ..

Критерием степени влияния магнитного поля на течение жид­кости по сравнению с влиянием вязкости оказывается величина

G=-. -8 с

V^ (67,5)

У ц

(ее называют числом Гартманна). При G<^1 получается

v=v₀[\--^), v=-j-_Tri, (67,6)

о² J ' I 3i]'

т. е. обычное пуазейлево течение. Если же G^>1, то

1 / я — | z I \ 1 - ДР ас icn п\

₀ = ₀.[1-ехр( J-!)j, v = —-_v=-. (67,7)

Увеличение магнитного поля делает профиль скоростей более плоским на большей части сечения и уменьшает среднюю скорость движения (при заданном градиенте давления); основное падение скорости происходит в пристеночных слоях с толщиной ~ 6.

Движение жидкости приводит к появлению электрического поля в направлении оси у. В силу стационарности движения rot Е = 0, откуда Е_у = const. В жидкости текут токи с плотностью

Но полный ток через сечение жидкости должен быть равен нулю; действительно, поскольку в то же время / = (с/4л) (rot Н) , то

а а

— а —а

Поэтому имеем

а а

^ j_vdz =2сюЕ_у-—j$ ^ udz=0,

-а -а

откуда

Е_у=~^>. (67,8)