§ 34. Самоиндукция линейных проводников

При вычислении коэффициента самоиндукции линейного про­водника нельзя полностью пренебречь его толщиной, как мы это делали для вычисления взаимной индукции двух проводников. Сделав так, мы получили бы из (33,9) самоиндукцию в виде

где оба интеграла берутся по одному и тому же контуру; но этот интеграл логарифмически расходится при R —> 0.

Точное значение самоиндукции проводника зависит от рас­пределения тока в нем, которое может быть различным в зави­симости от способа возбуждения тока, т. е. от того, каким об­разом приложена к нему электродвижущая сила. Но для линей­ного провода самоиндукция оказывается не зависящей от закона распределения тока по его сечению¹) с довольно большой сте­пенью точности.

е

Представим самоиндукцию в виде суммы L = L_e + L,-, где L и L_t связаны с энергией магнитного поля соответственно вне и внутри проводника. У линейного провода основную часть са­моиндукции составляет «внешняя» часть L_e. Это связано с тем, что основная часть магнитной энергии замкнутого линейного контура заключена в поле вне провода на больших (по сравне­нию с его толщиной) расстояниях. Действительно, энергия, при­ходящаяся на единицу длины неограниченно длинного прямого провода, дается интегралом

(г — расстояние от оси провода, \л_е— магнитная проницаемость внешней среды). Этот интеграл логарифмически расходится при больших г. Для замкнутого линейного контура эта расходимость, разумеется, исчезнет—интеграл «обрежется» на расстояниях по­рядка величины размеров контура. Мы получим приближенное значение энергии, умножив написанный интеграл на полную длину провода / и взяв для верхнего предела значение / (ниж­ний же предел равен радиусу а провода):

*) Точнее, от распределений, при которых плотность тока существенно меняется лишь на расстояниях, сравнимых с толщиной а провода. Если же распределение таково, что плотность тока заметно меняется на расстояниях, малых по сравнению с а (как это имеет место в силу специальных причин при так называемом скин-эффекте пли у сверхпроводников), то самоиндук­ция провода меняется.

с¹ а

Отсюда самоиндукция

L = 2\i_el In — .

(34,1)

Это выражение обладает, как говорят, логарифмической точностью; его относительная погрешность —порядка величины l/ln(//a), а отношение l/а предполагается настолько большим, что и его ло­гарифм велик!).

Особым случаем линейных проводников является катушка (соленоид), в которой провод намотан по спирали с очень близко расположенными друг к другу витками. Пренебрегая толщиной провода и расстояниями между витками, мы получим просто цилиндрическую проводящую поверхность, по которой течет «поверхностный» ток проводимости. Уравнение rot Н=4я]"/с внутри проводника заменяется при таком рассмотрении просто гранич­ным условием

[n, H,-H₁] = ^g,

(34,2)

где g—поверхностная плотность тока, H_t и Н₂—напряженности поля по обе стороны поверхности соленоида, а нормаль п на­правлена внутрь среды 2 (ср. вывод формулы (29,16)).

Если соленоид представляет собой бесконечный цилиндр, то создаваемое им магнитное поле определяется совсем просто. Поверхностные токи циркулярны, а их плотность 'g = nJ, где J — ток, текущий по проводу, а п—число витков на единицу длины соленоида. Поле вне цилиндра равно нулю, а внутри имеется однородное поле, направленное вдоль оси цилиндра и равное

Действительно, такое поле очевидным образом удовлетворяет уравнениям divH=0, rot Н — 0 во всем пространстве вне про­водящей поверхности, а также граничному условию (34,2) на ней.

Соответственно, энергия поля, отнесенная к единице длины цилиндра, есть

2я²я²6²|х_е с²

(Ь — радиус цилиндра, \i_e относится к среде, заполняющей соле­ноид). Пренебрегая искажением поля на концах, можно приме­нить эту формулу и к соленоиду конечной большой (по сравне-

!) Сделанное выше утверждение о независимости самоиндукции от распре­деления тока относится в действительности не только к приближенному вы­ражению (34,1), но и к следующему приближению, в котором учитываются члены, не содержащие большого логарифма (что эквивалентно учету в аргу­менте логарифма коэффициента при l/а); см. задачи к этому параграфу.

нию с Ь) длины h. Тогда для самоиндукции получим L = 4л²п²Ь²кц_е — 2n\i_enbl,

(34,3)

где l = 2nbnh— полная длина провода в катушке. Увеличение самоиндукции соленоида по сравнению с самоиндукцией ненави-того провода той же длины (ср. (34,3) с (34,1)) является естест­венным следствием взаимной индукции между близко располо­женными витками.

Задачи¹)

1. Определить самоиндукцию замкнутого тонкого провода с круговой формой сечения.

Решение. Магнитное поле внутри провода можно принять таким, как внутри бесконечного прямого цилиндра:

(г—расстояние от оси провода, а — его радиус). Отсюда находим внутреннюю часть самоиндукции:

(1)

где I — длина рассматриваемого замкнутого провода.

Для вычисления L_e замечаем, что поле вне тонкого провода не зависит от распределения тока по его сечению. В частности, энергия JF_e внешнего магнитного поля не изменится, если предположить, что ток течет только по поверхности провода. Но тогда внутри провода будет Н=0 и можно вычис­лять энергию JF_e, как полную энергию, по формуле (33,2).

Ввиду предположенного поверхностного распределения токов интеграл в этой формуле фактически сводится к линейному интегралу по контуру осевой линии провода, так что внешняя часть самоиндукции

где значение А в подынтегральном выражении берется на поверхности про­вода. При переходе к этой формуле учтено также, что в рассматриваемом приближении поле постоянно вдоль контура кругового сечения провода.

После того, как задача оказалась сведенной к вычислению А|_г=а, сделаем другое предположение о распределении тока: пусть весь ток J течет вдоль осе­вой линии провода. Значение поля на поверхности провода в рассматриваемом приближении от этого не изменится (оно не изменилось бы вовсе у прямого провода кругового сечения). Тогда согласно формуле (30,14) имеем

^г) В задачах 1 — 6 полагаем магнитную проницаемость среды ц_е=1. ²) Аналогичный метод был применен в задаче 4 § 2 для вычисления ем­кости тонкого кольца.

где R— расстояние от элемента d\ осевой линии провода до данной точки его поверхности. Разобьем интеграл на две части, в которых соответственно R>& и R < Д, где Д — некоторая длина, малая по сравнению с размерами контура тока, но большая по сравнению с радиусом а провода ²). В интеграле по обла­сти R > Д можно пренебречь а и понимать R просто как расстояние между двумя точками контура тока. Интеграл же по области R < Д можно считать направленным по касательной к данной точке контура. Обозначив единичный вектор в этом направлении через t, пишем:

д

Г л _at r_^L_===2tArshA^_2tln2A.

J R r = a J |/q²+/² a a

H<\ - A

Это выражение можно снова переписать в виде интеграла

_{2нЗ« г 4-.}

a J R

Д>«>а/2

где теперь уже R снова понимается как расстояние между точками контура тока. Таким образом, складывая с интегралом по области R > Д, получим выражение

R > а/2

из которого произвольный параметр Д, как и должно быть, выпадает. Таким образом, окончательно имеем:

_И

R

R >'а/2

Интегрирование распространяется здесь по всем парам точек контура, расстоя­ние между которыми превышает а/2.

2. Определить самоиндукцию тонкого кольца (радиуса 6) из провода кру­гового сечения (радиуса а).

Решение. Подынтегральное выражение в формуле (2) задачи 1 зависит только от центрального угла ф, на который опирается хорда R окружности кольца, причем R = 2b sin (ф/2), a d\d\' = dl-dl' соэф. Поэтому имеем

L_e = 2[ соз_Ф.2_Л&.ь^_4л6 J 2b sin |-

Фо

-lntg2»-2cos^

Нижний предел интегрирования определяется из 26 sin (ф₀/2) = а/2, откуда ф₀ и а/26. Подставив это значение и сложив с L; = лбц,-, получим с требуемой точностью

I-** (!»?-»+¥)•

В частности, при |х,= 1

£ = 4л6 I 1п

3. Определить растяжение кольцевого провода (с щ = 1) под действием магнитного поля протекающего по нему тока.

Решение. Внутренние напряжения, действующие вдоль оси провода и перпендикулярно к ней, определяются согласно (33,16) формулами

J² dL „ . J² dL

¹¹ 2с² б (2л6) -L- 2с² да

Подставив Z. из предыдущей задачи, получим Л /. 86 3

Отсюда искомое относительное удлинение кольца

ДЬ 1 . о ч

яа²с²£

In

86

₄₊^2я_°)

(£—модуль Юнга, а — коэффициент Пуассона материала провода; см. VII §5).

4. Определить самоиндукцию единицы длины двойного провода, состоя­щего из двух параллельных прямых проволок (с ц,-=1) кругового сечения (радиусов а и 6), отстоящих на расстояние h между их осями, причем по этим проволокам текут равные и противоположные токи J (рис. 19).

при г < а,

-21п-

Решение. Векторный потенциал магнитного поля каждого из токов направлен параллельно осям проводов, и потому векторные потенциалы обоих полей складываются просто алгеб­раически. Для магнитного поля провода / с равномерно распреде­ленным током + J имеем (в ци­линдрических координатах)

при г > а.

Л=_т1С-1.

- С —1—21

где С — произвольная постоянная; на границе провода A_z непрерывно. Анало­гичные формулы для поля провода 2 получаются заменой а на Ь и изменением знака J. Интегрирование по площади сечения провода / в формуле (33,2) дает J2 ГI / А

2е%а⁸

_ЯМ

о 2л

У²

-2ft/jCOSjqp I

W T+^2lnT

8=

2лг

(N — полное число витков провода, J — ток в нем; координаты и размеры по­казаны на рис. 20). Магнитное поле вне соленоида Н_е=0, а внутри

Я,_г = Я,_л=0, //,_ф=²^^

сг

(г, г, ф—цилиндрические координаты). Действительно, это решение удовлетво­ряет уравнениям divH = 0, rotH=0 и граничному условию (34,2) *). Энергия магнитного поля внутри соленоида

J 8л ~c*~ $ T~'

^J) Оно справедливо и для кольцеобразного соленоида с произвольной, некруговой формой сечения.

интегрирование производится по контуру сечения тора и легко осуществляется путем введения угла 0 согласно z = asin0, г = Ь + a cos 9. В результате полу­чаем для самоиндукции:

L = 4:ix/V²(ft — Vb*~ о²).

6. Определить поправку первого порядка по //ft к выражению (34,3) (с \л_е= 1) для самоиндукции цилиндрического соленоида, связанную с искаже­нием поля вблизи его концов.

Рис. 20.

Решение. Самоиндукция соленоида вычисляется как двойной интеграл по его поверхности:

₁₁₇

о о ⁷

где g—поверхностная плотность тока (g = nJ). В цилиндрических координатах

ft Н 2я . , h я

С Г Г ^cos Ф «Ф «^zi «^z2 „ , •>

(ft—£) cos фйфй?

Ф

(z₂—z₁)²+46²sin¹

£² + 4ft² sin⁵

_'Ш7

ООО ^г

(ф—У^гол между диагональными плоскостями, проходящими через d/i и df₂). Интегрируя по dl,, получим при h^>b

L « 8яЬ²

₁

ft In

ft

ft$in ■

-ft + 26 sin

Ф

cos ф Оф

и окончательно

£ = 4л²Ь%² (h-j^b

7. Определить, во сколько раз изменится самоиндукция плоского линей­ного контура, если поместить его на плоскую поверхность полубесконечнон среды с магнитной проницаемостью р;_е. Внутренней частью самоиндукции про­вода пренебрегаем.

Н₀, а в среде В = u_eH =

Решение. Из соображений симметрии очевидно, что в отсутствие среды магнитное поле тока симметрично относительно плоскости контура, а магнит­ные силовые линии пересекают эту плоскость нормально к ней; назовем это поле Н₀. Мы удовлетворим уравнениям поля и граничным условиям на поверх­ности полубесконечной среды, если положим в пустом полупространстве

Н

. , ..„, - ~ - — re I , Н₀. Действительно, этим обеспечи-

те+¹ Ре~Г¹

вается непрерывность В_п и Щ ^иа граничной плоскости, а циркуляция Н по

§35]

СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

183

любой силовой линии будет равна циркуляции Н₀ по тон же линии. Отсюда легко заключить, что при введении среды полная энергия поля, а следова­тельно, и самоиндукция контура, умножается на