0 Из этой формулы видно, что дополнительное тепло, выделяющееся (в течение времени 60 в проводнике при его движении в магнитном поле, есть

^{6/y^j|vb]dv --i- J 6u \}K}dV.}

где 6u —v67—смещение за время 67. эта величина равна и противоположна по знаку работе, произведенной за то же время над проводником объемными силами f—[jbjr; тем самым разъясняется кажущееся противоречие, упомя­нутое на стр. 184.

§

V dt : в= coibt'

где df =-- [du-d\] — элемент площади «боковой» поверхности между двумя бесконечно близкими положениями С и С контура тока, занимаемыми им в моменты времени t и t-\-dt (рис. 38). Поскольку полный магнитный поток через вся- кую замкнутую поверхность равен ^— \р нулю, то ясно, что поток через бо- ковую поверхность равен разности _f потоков через поверхности, опираю- \-' щиеся на С и С. Таким образом, du]

[vB] d! ^ — ■ —

где производная но времени означает изменение магнитного по­тока, связанное с перемещением проводника при неизменном поле.

Складывая оба члена, получим окончательно

где производная по времени означает теперь полное изменение магнитного потока через движущийся контур. Таким образом, выражаемый формулой (63,4) закон Фарадея справедлив при любой причине изменения магнитного потока—как от изменения самого ноля (о чем уже шла речь в § 61, формула (61,13)), так и от движения проводника.

В постоянном магнитном поле изменение потока может быть связано только с перемещением контура. Если контур движется так, что все его точки перемещаются вдоль силовых линий поля, никогда не пересекая их, то поток поля через контур не ме­няется. Это обстоятельство является очевидным следствием того, что магнитный поток через всякую замкнутую поверхность равен нулю, а поток через «боковую» поверхность, описываемую дви­жущимся контуром, в этом случае равен нулю тождественно (так как на ней В_п=-0). Таким образом, можно сказать, что для возникновения индукционной электродвижущей силы проводник во всяком случае должен пересекать при своем движении маг­нитные силовые линии.

Электромагнитное поле в движущихся проводниках опреде­ляется системой уравнений

rot Е — ,

с dt

rotH = ^j~⁴-^(E+i[vB]) , (63,5)

div В = 0.

Выразив из второго уравнения Е через Н и подставив в первое, получим

£-rot[vB] = ^rot(Ei!!). (63,6)

В однородном проводнике с постоянными проводимостью о и магнитной проницаемостью р,

Ё1__гог[уН] = ^ЛН, divH = 0. (63,7)

Эти уравнения обобщают те, которые были получены в § 58.

Следует, однако, указать, что если имеется всего один про­водник, движущийся как целое (не деформируясь) во внешнем магнитном поле, то решение задачи значительно упрощается при использовании системы координат, жестко связанной с телом. В этой системе проводник неподвижен, а внешнее поле меняется со временем по заданному закону, так что мы возвращаемся к типу задач о токах Фуко, рассмотренных в § 59. Возмож­ность такого перехода связана, однако, не с галилеевским (или эйнштейновским) принципом относительности, так как новая система координат, вообще говоря, неинерциальна. Эквивалент­ность обеих задач есть следствие отмеченной выше независи­мости электромагнитной индукции от причины, вызывающей изменение магнитного потока. В ней можно убедиться и чисто математическим путем. Для этого раскроем выражение rot[vB], учитывая при этом, что divB = 0, а при движении тела как целого также и divv = 0 (это равенство выражает собой несжи­маемость тела). Тогда левая сторона уравнения (63,6) примет вид

^. + (vv)B-(Bv)v. (63,8)

Но эта сумма есть не что иное, как производная от В по вре­мени, определяющая изменение В по отношению к вращающе­муся телу. Действительно, сумма первых двух членов есть «суб­станциональная» производная по времени dH/dt, дающая изме­нение В в точке, перемещающейся со скоростью v. Третий же член учитывает изменение ориентации В по отношению к телу: он равен нулю при чисто поступательном движении (v = const) и равен —[QB] при вращении тела (v = [Qr], где Я — угловая скорость).

В заключение этого параграфа рассмотрим своеобразное явле­ние (униполярную индукцию), возникающее при вращении намаг­ниченного проводника. Оно заключается в том, что если при помощи двух скользящих контактов (Л и В на рис. 39) присо­единить к вращающемуся магниту неподвижный провод, то по последнему потечет ток. Не представляет труда вычислить электро­движущую силу, создающую этот ток. Для этого проще всего

перейти к системе координат, вращающейся вместе с магнитом_ Если Q—угловая скорость вращения магнита, то в новой систем^ провод вращается с угловой скоростью—Q (а магнит неподвижен). Таким образом, мы имеем теперь дело с проводником, движущимся в заданном постоянном маг­нитном поле В, создаваемом неподвижным магнитом; искажением поля самим про­водником мы пренебрегаем. Согласно формуле (63,3) электродвижущая сила, действующая между концами провода, дается интегралом

АСВ

tf = l J [vB]dl=4 I [B[rQ]]dl,

АСВ

(63,9)

взятым вдоль длины провода. Эта формула и решает поставлен,, ную задачу.

Задачи

1. Определить магнитный момент проводящего шара (с р.= 1), равномерна вращающегося в однородном постоянном магнитном поле; определить дейстч вующий на шар момент сил.

Решение. Пусть в неподвижной системе координат (с осью г вдол^ вектора угловой скорости Я) внешнее поле имеет составляющие $Qx< О, £>_г, В системе координат |, г], г, вращающейся вместе с шаром, составляющие поля:

£| = А?.< cos Qt, £_л = — §_xsmQt, §_г или, в комплексном виде,

Таким образом, вдоль осей £ и г| действует переменное поле с частотой Q и индуцируемый им магнитный момент

a£^ = V Re {«fc_£} = V§_x (a' cos Qt+a" sin Qt),

_e#_t) = V Re {°.§₄}=V§_X (—a' sinQ* + a*cosQj),

где Ka—комплексная магнитная поляризуемость шара, определенная в за­даче 1 § 59. Вдоль же оси z магнитное поле постоянно и потому не создает (при |а=1) магнитного момента. Составляющие магнитного момента относи­тельно неподвижной системы координат:

a£_x = Va'$Q_x, e£y = Va"^,_{Xy е}#- ^ 0.

Таким образом, в этой задаче а и а" определяют составляющие магнитного момента шара соответственно в плоскости векторов S, ^ и перпендикулярно к ней.

Действующий на шар момент сил К = [ЛГф]. Его составляющие относи­тельно неподвижных осей:

Использованное здесь сведение задачи о вращающемся в поле шаре к за­даче о неподвижном шаре в переменном поле вполне естественно в свете заме­чания, сделанного в конце решения задачи 1 § 59. Обратим внимание на интересный аспект этой аналогии: при увеличении частоты ш переменного маг­нитного поля оно «выталкивается» из шара — в пределе w—* со все силовые линии «обтекают» шар, не проникая внутрь его; таким же образом из быстро вращающегося шара выталкивается магнитное поле, перпендикулярное к оси вращения.

2. Определить электродвижущую силу униполярной индукции, возникаю­щую между полюсом и экватором (см. рис. 39) однородно намагниченного шара, равномерно вращающегося вокруг оси, совпадающей с направлением намагничения.

Решение. При вращении шара вокруг направления его намагничения создаваемое им поле постоянно; учитывая также, что внутри шара нет токов, найдем из (63,6), что rot[vB]=0. Поэтому интеграл от |vB] по замкнутому контуру ОАСВО (рис. 39) обращается в нуль и, следовательно, интегрирование по пути АСВ в формуле (63,9) можно заменить интегрированием по пути АОВ, проходящему внутри шара. Интеграл вдоль отрезка АО оси вращения обращается в нуль ввиду совпадения направлений Я и г, а интегрирование вдоль радиуса ОВ дает (с учетом совпадения направлений Вий внутри шара):

_ 1 Г ВМа²

о

(а — радиус шара, В₀ — магнитная индукция в нем). В однородно намагничен- ном шаре (в отсутствие приложенного внешнего поля) связь индукции с на- магничением определяется уравнениями £₀ + 2// = 0 (ср. (8,1)) и В_а — Н = \пМ, откуда В₀ = 8лЛ4/3. Вводя полный магнитный момент шара получим

окончательно

3. Определить полный заряд, протекающий по линейному замкнутому контуру при изменении (по любой причине) магнитного потока через него от одного постоянного значения (Ф_х) до другого (Ф₂).

^{Решение. Искомый полный заряд есть интеграл J J dt, где J (t) —}

— со

возникающий в контуре индукционный ток. С математической точки зрения этот интеграл представляет собой компоненту Фурье функции J (t) с часто­той (0 = 0. Поэтому он связан с такой же компонентой электродвижущей силы соотношением

СО 00

^{J gdt = Z(0) \ J dt}

— СО — GO

(см. (61,3)). Подставив Z(Q) = R (R—сопротивление контура для постоянного тока) и = — (1/с) dO/dt, получим

GO

^{1 •^=т^-(ф1-ф2)-}

— со