§ 47. Флуктуации в ферромагнетике

Теория фазовых переходов Ландау, на которой основано из­ложение в § 39, не учитывает флуктуации параметра порядка, в связи с чем она становится неприменимой в достаточной бли­зости к точке Кюри. Область применимости этой теории опреде­ляется критерием

Щ>^т-£- («•»

где г = Т — Т_с, а и В — коэффициенты в разложении (39, 3 — 4), а а — порядок величины компонент тензора a_ik в (43,1). В то же время должно быть, конечно, \t\<^.T_c как условие близости к точке Кюри³).

При обратном знаке неравенства в (47,1), во флукшуационной области, флуктуации параметра порядка играют определяющую роль. Строгая статистическая теория для точки Кюри ферромаг­нетика в этой области должна была бы быть основана на эффек­тивном гамильтониане

^_эфф = j" {atW + В (М²)² + f g gj - НМ} dV. (47,2)

^х) Подразумевается, что поверхность раздела между сосуществующими фа­зами параллельна магнитному полю, так что H_z на этой границе непрерывно.

²) К трикритической точке на фазовой диаграмме Н, Т относится все то, что было получено в V § 150 (в рамках теории Ландау) для трикритической точки в плоскости Р, Т.

³) Здесь и ниже в этом параграфе используются результаты, изложенные в V §§ 146—149. Они предполагаются известными читателю и частично упоми- наются вновь лишь для большей связности изложения. Мы не будем делать каждый раз соответствующих ссылок.

Функция М(г) предполагается при этом меняющейся медленно в том смысле, что в ее фурье-разложение входят лишь волновые векторы, малые по сравнению с характерным обратным атомным расстоянием. Коэффициенты а, В, а совпадают с коэффициентами разложения теории Ландау, т. е. являются не зависящими от температуры постоянными (член с производными написан, для простоты, в предположении кубической симметрии кристалла; коэффициент в нем обозначен здесь как а в отличие от истинного коэффициента а — см. ниже). Эффективный гамильтониан (47,2) отвечает обменному приближению — в нем пренебрежено энергией анизотропии; в этом же приближении следует пренебрегать флук-туациями магнитного поля, возникающими в результате флуктуа­ции намагниченности (т. е. магнитостатической энергией флукту­ации—ср. IX § 70). Для обменного приближения характерна «вырожденность» задачи: параметр порядка м имеет три компо­ненты, но эффективный гамильтониан инвариантен относительно поворотов этого вектора на один и тот же угол во всем про­странстве.

Для описания поведения термодинамических величин вблизи точки фазового перехода второго рода вводят критические ин­дексы (или критические показатели) согласно определениям, ко­торые мы повторим здесь применительно к точке Кюри ферромаг­нетика. Индекс а определяет температурную зависимость тепло­емкости С_р по обе стороны точки Кюри в отсутствие магнитного поля ^х):

C_p^\t\-^a при Н = 0. (47,3)

Индекс § определяет температурную зависимость спонтанной на­магниченности ниже точки Кюри:

М счз ( — tf при t < 0, Н=0. (47,4)

Индекс у определяет зависимость от t магнитной восприимчи­вости парамагнитной фазы:

X<x>r^v при t>0, Н = 0 (47,5)

(о ее поведении при £<0 — см. ниже). Зависимость же намагни­ченности от поля в самой точке Кюри записывается в виде

МсчзЯ¹/⁶, * = 0. (47,6)

Температурная зависимость корреляционного радиуса флуктуа­ции намагниченности определяется индексом v:

^х) При этом имеется в виду «особая» часть теплоемкости. Это значит, что при а < 0 теплоемкость ведет себя как С_р= -f const • 11 |^{1 а} '. Не смешивать индекс а с коэффициентом а в (47,1), (47,2) и ниже!

r_ccv\t\-^v при Н = 0. (47,7)

В самой же точке Кюри корреляционная функция спадает с рас­стоянием по степенному закону^х)

G_ik(r) = <&Mi(0)&M_k(r)> уз r-b+U при t = 0, Н = 0. (47,8)

Критические индексы связаны друг с другом определенными соотношениями, некоторые из которых являются следствием ги­потезы масштабной инвариантности. Эти соотношения имеют универсальный характер и не зависят, в частности, от числа компонент параметра порядка; они позволяют выразить все пе­речисленные индексы через любые два из них.

В табл. 2 приведены значения критических индексов для ферромагнитного перехода. Для сравнения указаны также значения для других кратностей вырождения п (т. е. п — число компонент параметра порядка М в эффективном гамильтониане вида (47,2)); трехмерному ферромагнетику в обменном приближении отвечает л = З^а).

Таблица 2

п	а	Р	Y	v	б
1	о,по	0,325	1,240	0,630	0,48	0,031
2	—0,007	0,346	1,315	0,669	0,43	0,033
3	—0,115	0,364	1,387	0,705	0,48	0,033

В парамагнитной фазе корреляционная функция на расстоя­ниях г^>г_с убывает по экспоненциальному закону. В ферромаг­нитной же фазе надо различать флуктуации с изменением и без изменения абсолютной величины вектора М. Именно здесь прояв­ляется вырожденность задачи о точке Кюри в обменном прибли­жении.

^х) Мы рассматриваем везде лишь обычные, трехмерные тела.

²) Значения малых индексов а и £ взяты из численных расчетов (Le Gid-lou J. С, Zin-Justin J.—Phys. Rev., 1980, v. В 21, p. 20). Остальные индексы затем вычислены по этим двум.

Это различие отсутствует, когда изменение вектора М, в том числе его направления, происходит на малых расстояниях, г<<сг_с; корреляционная функция всех флуктуации следует здесь одному и тому же закону (47,8). На расстояниях же г^>г_с (волновые векторы kr_c^\) флуктуации направления М «аномально» возра­стают ввиду уменьшения затрат энергии при таком отклонении от равновесия (при однородном по всему кристаллу повороте на­магниченности, k —*■ 0, энергетические затраты вообще отсутствуют). Корреляционную функцию флуктуации направления М на этих расстояниях можно найти термодинамическим путем.

Медленность изменения М позволяет выделить в термодинами­ческом потенциале члены, связанные с этим изменением, написав

ф = ф₀(Т, M) + fJ|£|£dV, (47,9)

где Ф₀ относится к однородно намагниченному телу*). Подчер­кнем, что здесь имеется в виду истинный термодинамический потенциал; при этом коэффициент а (функция температуры) не совпадает с коэффициентом а в эффективном гамильтониане.

При малом повороте вектора М (без изменения его величины) член Ф_Ь(Т, М) не меняется. Если некоторое заданное направле­ние М выбрать в качестве оси г, то малое отклонение от этого направления можно описывать малым двумерным вектором 8Mj_ = Mx в плоскости ху. Соответствующее изменение термоди­намического потенциала -):

8ф = ^[^д-^±^д-^±с1У. (47,10)

^J 2 J dxi дх; ^v

Представив 8Mj_ в виде ряда Фурье

6Мх = £ 6M_±ke*^r, 6Mxk = 6М1, -_к,

к

получим

к

и далее для среднего квадрата флуктуации:

<б/И_акб/Ир_к> = _т^б_ар, (47,11)

где а, р¹ — векторные индексы в плоскости ху. Соответствующая координатная корреляционная функция³):

') Строго говоря, здесь надо было бы говорить не о Ф, а о термодинами­ческом потенциале Q (ср. V § 146). Поскольку, однако, в силу теоремы о ма­лых добавках интересующий нас член с производными имеет одинаковый вид в обоих потенциалах, мы будем писать потенциал Ф.

²) Последующие вычисления полностью аналогичны произведенным в V § 146.

³) Формула (47,12) может быть получена также в рамках микроскопической спин-волновой теории. Она справедлива независимо от близости к точке Кюри, причем вдали от последней требуется лишь, чтобы г было велико по сравнению с атомными размерами (см. IX § 71, задача 4; в последних двух формулах ре- шения этой задачи допущена опечатка — выражения <p,-_fe должны быть увели- чены вдвое). В то же время пренебрежение энергией магнитной анизотропии ограничивает области применимости формулы (47,12) сверху. Так, для одноос- ного кристалла с энергией анизотропии (41,1) должно быть г^Ур/а.

G_a«(r) = _I^-6_aR. (47,12)

Таким образом, корреляционная функция флуктуации направ­ления М в ферромагнитной фазе убывает на расстояниях гф>г_с по степенному закону — в противоположность корреляции флук­туации величины М, убывающей экспоненциально.

Воспользовавшись гипотезой масштабной инвариантности, мож­но теперь определить температурную зависимость термодинами­ческой величины а, выразив эту зависимость через уже введен­ные критические индексы. Как уже было отмечено, при г<^.г_с корреляционные функции всех флуктуации намагниченности, в том числе его направления, следуют одному и тому же закону (47,8). Один из аспектов масштабной инвариантности состоит как раз в том, что характерное расстояние, разделяющее оба предельных закона, совпадает именно с г_с. Другими словами, при г ~ г _с оба закона должны давать одинаковый порядок величины функции G. При г ~ г_с ее температурная зависимость, определенная согласно (47,7—8), есть

G <х> г_с-<¹⁺£> с\>( — t)^vW>.

Согласно же (47,12) имеем

G со (аг^)^-1 оо а^-1 (—^)^v*

Сравнив оба выражения, найдем:

ctcv>( — (47,13)

(Р. С. Hohenberg, Р. С. Martin, 1965). Таким образом, при Т —+Т_С величина а медленно (ввиду малости индекса t) стремится к бес­конечности. Напомним, что в теории Ландау а стремится к отлич­ной от нуля конечной величине¹).

При Н^О в термодинамический потенциал (47,9) надо доба­вить член —^HM_zdV (при наличии поля среднее направление М, ось г, совпадает, конечно, с направлением Н). При флуктуации направления М из условия М² = const имеем

2/Иб/И_г + бм1 = 0.

Поэтому к выражению (47,10) для изменения Ф при флуктуации добавится член

^{-^HbM}_z^{dV=~l(b М}_±^{)2 dV.}

Очевидно, что это приведет к замене в (47,11) ak² на ak²-{-H/M, так что

^J) Подчеркнем, что возможность определения зависимости a (t) связана именно с вырожденностью задачи. По такой же причине возможно определение температурной зависимости сверхтекучей плотности, p_s, жидкого гелия вблизи его Х-точки; в этом случае задача вырождена с кратностью п = 2 (см. IX § 28). Аналогичную роль в этих случаях играют соответственно аМ² и p_s.

<8M_a8AV = _V(ak2^T_VH!M) бар- (47,14)

Эти формулы позволяют найти восприимчивость ферромагнит­ной фазы, т. е. производную

X = ^ <б/И_г> = -gL^ <(SM _±)²>. (47,15)

Подставив сюда <(8Mj_)²> из (47,14) и перейдя от суммирования по к к интегрированию, найдем

Т_ Г» 1 К (РА:

KM² J (а£²+#/УИ)² (2л)^:> '

и после вычисления интеграла окончательно¹):

Х = Т7—гг- (47,16)

^Л 8я (аМ)^ Н¹!* ^К '

Мы видим, что в обменном приближении флуктуации направления М лишают восприимчивость % в ферромагнитной фазе своего буквального смысла—она неограниченно возрастает при Н—>0. Формула (47,16) применима не только вблизи точки Кюри²).

Под М в знаменателе (47,16) надо понимать его значение при Я = 0. Во флуктуационной области (вблизи точки Кюри), взяв температурные зависимости М и а из (47,4) и (47,13), най­дем, что в ферромагнитной фазе

Х<*>( —0^-3(|}-^vE,/a#-^,/._> *<0- (47,17)

В области же (температурной) применимости теории Ландау имеется такая область значений Н, где обычный член в воспри­имчивости, (39,7), преобладает. Действительно, подставив в (47,16) М ~ (— at/B)¹/', получим условие этого преобладания в виде

V~H>T_cB³U(a\t\yi*a-*<*.

С другой стороны, в теории Ландау поле Н можно считать слабым, если МН<^.АМ-, т. е.

H<^(a\t\yi*B-^li"-.

Условие совместности обоих написанных неравенств совпадает с условием (47,1) применимости теории Ландау.

^х) Интеграл определяется областью значений k²— Н/Ма, что при доста­точно малых Н совместимо с условием применимости формулы (47,14): kr_c<^. 1.

²) Она может быть получена также и из спин-волновой теории (см. IX § 71, задача 2). Пренебрежение магнитной анизотропией и магнитостатической энергией флуктуации ограничивает, однако, ее применимость условием (для одноосных кристаллов) Я^>руИ или Я^>4яЛ4.

Обменное приближение становится неприменимым в достаточ­ной близости к точке Кюри, когда (ввиду уменьшения обменной энергии) становится существенной энергия анизотропии. При

этом меняется число компонент параметра порядка; так, в одно­осном ферромагнетике типа легкая ось он становится одноком-понентным (M_z вместо М; ср. конец § 40). В рамках теорий Ландау это обстоятельство не отражается на законах темпера­турной зависимости спонтанной намагниченности и магнитной восприимчивости. Во флуктуационной же области оно сущест­венно: неограниченно возрастают флуктуации лишь компоненты М_г, флуктуации же М_х и М_у остаются конечными. Это приводит к изменению значений критических индексов, а также к возник­новению температурной зависимости коэффициентов анизотро­пии. Задача осложняется еще и тем, что может оказаться необ­ходимым учитывать также и магнитостатическую энергию флукту­ации магнитного поля; на рассмотрении этой сложной ситуации мы здесь останавливаться не будем.