§ 62. Емкость в цепи квазистационарного тока

В отличие от постоянного тока переменный ток может течь не только в замкнутой, но и в разомкнутой цепи. Рассмотрим линейный контур, концы которого присоединены к обкладкам конденсатора, находящимся на малом расстоянии друг от друга. При распространении по контуру переменного тока обкладки конденсатора будут периодически заряжаться и разряжаться, тем самым играя роль «источников» и «стоков» тока в разомкнутой цепи.

Ввиду малости расстояния между обкладками конденсатора магнитную энергию тока можно по-прежнему положить равной L/²/2c², где L—самоиндукция замкнутого контура, который по­лучился бы из данного путем соединения обкладок коротким отрезком провода¹). После этого единственное изменение в урав­нении (61,4) будет состоять в добавлении к падению напряжения на сопротивлении, RJ, разности потенциалов на обкладках кон­денсатора: е/С, где С—емкость конденсатора, a ±e(t) — заряды на его обкладках. Таким образом,

g = RJ+^ +

L dJ

Но сила тока / равна убыли заряда одной или приращению за­ряда другой обкладки:

Выразив в уравнении / через е, получим

L d²e с² dt²

+ R

(62,1)

Это и есть искомое уравнение для переменного тока в цепи с емкостью.

Если £ — периодическая функция времени с частотой со, то уравнение (62,1) сводится к алгебраическому соотношению между £ и зарядом е, или, что то же, между £ и током / = —-кое. Именно, имеем JZ=$, где импеданс Z определяется согласно

(62,2)

') В этом параграфе скин-эффектом пренебрегаем.

Отделив в соотношении J = <§lZ вещественную часть, получим ДО- /■"»<■'*-'■'> , t_{g(p =} (^>U, (62.3)

чем определяется сила тока в цепи с приложенной извне электро­движущей силой <§ = <§_и costo^.

Если же <§ = 0, то ток в цепи представляет собой свободные электрические колебания. Частота (комплексная) этих колебаний определяется условием Z = 0, откуда

. Rc²

_Yic-m- ⁽⁶²_'⁴⁾

В зависимости от знака подкоренного выражения мы будем иметь затухающие (с декрементом Rc²/2L) колебания или же чисто апериодически затухающий разряд. В предельном случае R -> О имеем незатухающие колебания с частотой, выражающейся фор­мулой Томсона:

с—(62,5)

(W. Thomson, 1853).

Уравнение (62,1) непосредственно обобщается на систему не­скольких индуктивно связанных контуров с конденсаторами. Ток J_а в а-м контуре связан с зарядами ± е_а на обкладках соответствующего конденсатора посредством

Г — ^de« ^Ja~ dt '

а вместо (62,1) имеем систему уравнений

EtU*^-+ + £ = (62,6)

ь

Для периодических (монохроматических) токов эти уравнения сводятся к алгебраической системе

2,Z_abJ_b=£_a, (62,7)

ь

причем элементы матрицы Z_ab даются формулами

2_вЬ = б_вЬ ^_{e +} -i-)_-™L_ab. (62,8)

Собственные частоты системы токов даются условием совместнос­ти уравнений (62,7) при £_а = 0, т. е. условием равенства нулю определителя:

det|Z_e6| = 0. (62,9)

Если сопротивления R отличны от нуля, то все «частоты» имеют мнимую часть, т. е. электрические колебания затухают.

Обратим внимание на то, что уравнения (62,6) формально совпадают с механическими уравнениями движения системы с не­сколькими степенями свободы, совершающей затухающие малые колебания. При этом роль обобщенных координат играют заряды е_а, роль обобщенных скоростей—токи У_д = е_й. Функция Лагран-жа системы есть

а, Ь а а

Роль кинетической и потенциальной энергии механической сис­темы играют в ней соответственно магнитная и электрическая энергии системы токов, а величины $_а соответствуют приложен­ным извне силам, производящим вынужденные колебания систе­мы. Величины же R_a входят в диссипативную функцию

_®=tH^r_&- ^(62,11)

а

Уравнения (62,6) совпадают с уравнениями Лагранжа

₍₆₂,1₂₎

^dt де_а ^деа де_а \ ' '

Задачи

1. Определить собственные частоты электрических колебаний в двух индук^ тивно связанных контурах, содержащих самоиндукции L, и L_s и емкости С\ и С₂; сопротивлениями R_x и R₂ пренебрегаем.

Решение. Искомые частоты определяются из условия

det \Z_ab\= Z_nZ₂₂ — Zf₂ = 0,

где

7 — ■ ( ^W I ¹ \ 7 — ■ ( ^W 1 M 7 _ ^l'^W T

Вычисление дает:

L,C₁ + L₂C₂ T [(^Ct-LgC^ + ^C^]¹⁷² 2CjC₂ (L_XZ,₂ — L²₂)

Обе частоты вещественны, что является следствием пренебрежения R_x и R₂. При L₁₂—с 0 частоты ш_х и со₂ стремятся к значениям с/У^С_г и clY~L₂C₂, соответствующим раздельным колебаниям в каждом из контуров.

2. То же для цепи из параллельно соединенных сопротивления R, емко- сти С и самоиндукции L.

Решение. Импедансы трех ветвей цепи равны

Z_{1 =} R, Z₂=^, Z,= --^-L,

а токи в них связаны соотношениями

А^-!^-^2+>^з = 0, Z₁Jx = Z₂J_t~Z3J₃. Отсюда находим уравнение

решение которого дает

2RC

±

У LC

3. Рассмотреть распространение электрических колебаний по цепи, состав­ленной из бесконечной последовательности одинаковых ячеек, содержащих импедансы

Zi = -

— /

соС\

соС,

как это показано на рис. 37. Найти область частот колебаний, которые могут распространяться вдоль цепи без затухания¹).

Решение. Токи i_a определим как контурные токи в каждой из ячеек цепи (рис. 37). Уравнение Кирхгофа для а-го контура гласит:

•Zi'a + 2₂ (2г'_а—i°_a-i— i_{a + l}) = 0.

Это есть линейное разностное уравнение (по целочисленной переменной а) с постоянными коэффициентами. Ищем его решение в виде

i_a = const -q^a

и для параметра q получаем характеристическое уравнение

= 0.

2 +

Пусть —4<Z!/Z₂<0, чему соответствуют значения со², меньшей и большей из величин

О)

лежащие между

с'

с² (4/С₂+ 1/С_х) 4I₂ + Ii

Тогда уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня с модулями | q | = 1. Это значит, что при переходе от одной ячейки цепи к следующей амплитуда тока не убывает, т. е. электрические колебания распространяются по цепи без затухания. Если обозначить в этом случае q = e^lkl (I—длина одной ячейки цепи), то k играет роль «волнового вектора» распространяющихся вдоль цепи колебаний. Скорость же распространения можно вычислить по общим правилам как производную u = dw/dk.

-(л-сО

(А-а)_

■c₂q.

Если же со лежит вне указанных пределов, то уравнение (1) имеет два вещественных корня q_t и q₂; поскольку <?i^₂=l, то один из них (пусть q{) по абсолютной величине меньше, а другой (q₂) больше 1. Легко видеть, что это означает невозможность незатухающего распространения колебаний вдоль цепи. Для уяснения причины этого рассмотрим цепь большой, но конечной длины. Начальный колебательный импульс вносится в начале цепи, а на конце цепь тем или иным способом замкнута. Математически замкнутость конца цепи описывается определенным граничным условием, с помощью кото­рого в общем решении

¹а =с₁?₁

^х) Условие применимости квазистационарной теории к такой периодиче­ской цепи заключается в малости размеров отдельной ее ячейки по сравнению с «длиной волны» с/ш.

(А — «координата» конца цепн) определяется отношение коэффициентов с_х/с₂, которое при написанной форме решения будет порядка 1. Но тогда по мере увеличения А—а второй член (в котором | q₂ \ < 1) быстро станет очень малым по сравнению с первым. Таким образом, почти по всей длине цепи, за исклю­чением лишь малого ее участка вблизи конца, решение имеет вид

*■« = адГ^(Л_а).

в котором |г_а| убывает по направлению от начала цепи к ее концу.

Следует подчеркнуть, что это затухание не имеет характера диссипатив-ного поглощения (для которого нет причин ввиду отсутствия сопротивлений в цепн); оно может быть наглядно описано как результат отражений колеба­тельного импульса от каждой последующей ячейки цепн.