§ 91. Распространение электромагнитных волн в волноводах

В отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе резо­наторов, имеющих конечный объем, волновод представляет собой полость неограниченной длины—бесконечно длинную полую тру­бу¹). В то время как собственные колебания в резонаторе пред-

^г) Ниже мы пишем все формулы для пустого волновода. Переход к фор­мулам для волновода, заполненного непоглощающим диэлектриком, осуществ­ляется преобразованием (90,9).

ставляют собой стоячие волны, в волноводе волна является стоя­чей лишь в поперечных направлениях, а в направлении вдоль длины трубы возможно распространение бегущих волн.

Рассмотрим прямолинейный волновод с произвольной (одно-связной) формой поперечного сечения, неизменной вдоль его длины. Будем считать сначала, что стенки волновода являются идеально проводящими. Направление длины волновода выберем в качестве оси г. В волне, бегущей вдоль оси г, зависимость всех величин от г дается множителем вида exp (ik_zz) с постоянным k_z.

Все возможные в таком волноводе электромагнитные волны можно разбить на два типа: в одном из них Я_г = 0, а в другом £_г = 0 (Rayleigh, 1897). Волны первого типа, с чисто поперечным магнитным полем, называют волнами электрического типа или Е-волнами. Волны же с чисто поперечным электрическим полем называют волнами магнитного типа или Н-волнами¹).

Рассмотрим сначала £-волны; х- и «/-компоненты уравнений (90,1) дают

Ц±-ik_zE_v = ™ Н_х, -Ц± + _ikzE_x =™Н, ду ^z V с ^х дх ^{1 z х} с У

ik И - — £ ik Н - — - £

^lKz^Llij— _с ^пх> ^llizⁿx— _с ^пу

Отсюда

ik_z dE_z ik_z dE_z

^x x³ дх ' ^пУ x³ ду '

«о dE_z (w dE_z ¹ > 0

^x cx² ду ' У cv? dx >

где введено обозначение

Таким образом, в £-волне все поперечные компоненты Е и Н могут быть выражены через продольную компоненту электриче­ского поля. Последняя же должна быть определена путем реше­ния волнового уравнения, сводящегося к двумерному уравнению

Д₃£_г.+ х³£_г = 0 (91,2)

(Д₂—двумерный оператор Лапласа). Граничные условия к этому уравнению заключаются в обращении в нуль касательных состав­ляющих Е на стенке волновода. Для этого достаточно потребовать

£_г = 0 на контуре сечения. (91,3)

¹)Е- и Я-волны называют также соответственно ТМ- и ТЕ- (поперечно-магнитными и поперечно-электрическими) волнами.

Согласно формулам (91,1) двумерный вектор с составляющими Е_х, Е_у пропорционален двумерному градиенту величины Е_г. По-

этому при выполнении условия (91,3) автоматически обратится в нуль также и тангенциальная составляющая Е в плоскости ху.

Аналогичным образом, в Я-волне поперечные составляющие Е и Н могут быть выражены через продольную компоненту магнит­ного поля согласно формулам

„ ik_z дН_г „ ik_z дН_г n_r = —z-—r-, л„ = -

дх ' у и² ду ' „ ('со dH_z р ('со дН₇

(91,4)

сх² ду ' У си² дх

Продольное же поле Н₂ дается решениями уравнения

Д₂Я_г + х²Я_г = 0 (91,5)

с граничным условием

-^f = 0 на контуре сечения. (91,6)

Это условие обеспечивает согласно формулам (91,4) обращение в нуль нормальной компоненты Н.

Таким образом, задача об определении электромагнитного поля в волноводе сводится к нахождению решений двумерного волно­вого уравнения вида Д₂/ + х²/ = 0 с граничным условием / = 0или df/dn = 0 на контуре сечения. Для заданного контура такие ре­шения имеются лишь при вполне определенных собственных зна­чениях параметра х².

Каждому собственному значению х² соответствует своя зави­симость

со² = с²(£! + х²) (91,7)

между частотой со и волновым вектором k_z. Скорость распрост­ранения волны вдоль длины волновода дается производной

^{„, = 1°^^ = (91,8)}

При заданном х она пробегает значения от 0 до с, когда k_z ме­няется от 0 до со.

Средняя (по времени) плотность потока энергии вдоль длины волновода дается г-компонентой вектора Пойнтинга. Простое вы­числение с помощью формул (91,1) дает для £-волны

5_г=^_Ке{[ЕН*]_г} = ||₄|₇₂£_г|².

Полный поток энергии q получается путем интегрирования S_z по площади сечения волновода. Имеем

^{J | V}₂^E_Z ^{|2 df = f Е\Щ^ dl - j E\ A}₂^E_z^df.

Первый интеграл берется по контуру сечения и обращается в нуль в силу граничного условия Е₂ = 0. Во втором же интеграле за­меняем А\Е₂ на ■—к²Е_г и окончательно получаем

(91,9)

Для Я-волны получается такое же выражение с Н₂ вместо Е₂.

Аналогичным образом можно вычислить плотность электро­магнитной энергии W (отнесенную к единице длины волновода). Проще, однако, получить W непосредственно из q, поскольку должно быть q = Wu_z. Так, из (91,8) и (91,9) получим

(91,10)

Из (91,7) следует, что для каждого типа волн (соответствующих определенному значению х²) существует минимальное возможное значение частоты, равное сх. При меньших частотах распростра­нение данного типа волн становится невозможным. Но среди всех собственных значений х есть наименьшее, x_min, тоже отличное от нуля (см. ниже). Поэтому мы приходим к выводу, что существует нижняя граница частот, ft>_min = cx_min, за которой вообще невоз­можно распространение вдоль волновода каких бы то ни было волн. По порядку величины co_min~c/a, где а — поперечные раз­меры трубы.

Это утверждение, однако, справедливо лишь для волноводов с односвязной формой сечения, которые мы до сих пор и имели в виду. Положение совершенно меняется при многосвязной форме сечения¹). В таких волноводах, наряду с описанными выше Е- и Я-волнами, оказывается возможным распространение еще одного типа волн, частота которых не ограничена никакими условиями.

Этот тип волн—так называемая главная волна—-характеризуется тем, что k₂ = ±k (т. е. х = 0); скорость ее распространения сов­падает со скоростью света с. Выясним основные свойства этой волны; одновременно мы увидим, почему этот тип волн невозмо­жен при односвязной форме сечения волновода.

Все компоненты поля в главной волне удовлетворяют дву­мерному уравнению Лапласа Д₂/ = 0. При граничном условии / = 0 единственное решение этого уравнения, регулярное во всей области (одно- или многосвязной), есть /еееО. Поэтому в главной волне

При граничном же условии df/дп — О регулярное решение / = const. Легко, однако, видеть, что для/ = Я₂ эта const может быть только нулем (напомним, что const означает величину, не

^]) Речь может идти как о пространстве между двумя вставленными одна в другую трубами, так и о пространстве вне двух параллельных проводов.

зависящую от х, у). Действительно, проинтегрировав уравнение

_{divH = % + H*L + ^tf2 = 0}

дх ¹ ду с ²

по площади сечения, получаем

<fHJl + ^$H_tdf = 0;

ввиду равенства #„ = 0 на контуре сечения и постоянства Н_г по его площади отсюда следует, что #_z = 0.

Таким образом, главная волна чисто поперечна. При Е_г=Н_г=0 х- и «/-компоненты уравнений (90,1) дают

Н_х = -Е_у, Н_у = Е_х, (91,11)

т. е. поля Е и Н взаимно перпендикулярны и равны друг другу по величине. Для определения этих полей имеем уравнения ,. „ дЕ_х , дЕ дЕ _дЕ

^dlvE=^+-^7 = °- (^rotE^ = -57~^f ^{= 0}

с граничным условием Е, = 0.

Мы видим, что зависимость Е (а с ним и Н) от х, у дается решени­ем двумерной электростатической задачи: Е = —У₂ф» где потенциал ср удовлетворяет уравнению Д₂ср = 0 с граничным условием ср = const. В односвязной области это граничное условие приводит к ср == = const (а потому Е = 0) как единственному решению, регуляр­ному во всей области. Тем самым доказывается невозможность распространения этого типа волн по волноводам с односвязным сечением. В многосвязной же области значение const в граничном условии не обязано быть одним и тем же на различных граничных контурах, и тогда уравнение Лапласа имеет нетривиальные ре­шения. При этом распределение электрического поля в попереч­ном сечении волновода соответствует плоскому электростатическому полю между обкладками конденсатора, находящимися при задан­ной разности потенциалов.

До сих пор мы предполагали стенки волновода идеально про­водящими¹). Наличие же у стенки малого, но все же конечного импеданса приводит к появлению потерь и тем самым к затуха­нию волны при ее распространении вдоль волновода. Коэффициент затухания может быть вычислен аналогично тому, как в преды­дущем параграфе было вычислено затухание со временем элек­тромагнитных колебаний в резонаторе.

¹) В частности, лишь при этом условии вообще возможно строгое разде­ление на волиы с £_г = 0 и волны с Я_г = 0.

Количество энергии, диссипируемой в 1 с в стенках волновода (отнесенное к единице его длины), дается интегралом взятым по контуру сечения; Н есть магнитное поле, вычисленное в предположении £ = 0. Разделив эту величину на удвоенный поток энергии q вдоль волновода, мы получим искомый коэффи­циент затухания а. При таком определении а дает скорость за­тухания амплитуды волны, убывающей вдоль длины волновода, как е~^аг.

Выражая все величины через Е_е или Я₂ согласно формулам (91,1) или (91,4), получим следующие формулы для коэффициента поглощения £-волны:

а = -о%-^7 > (⁹¹>¹²)

и для Я-волны:

_с^ §{\Н_г\Ч{к1Ы*)\щН_г\*)<И

Для фактического вычисления может оказаться удобным преоб­разовать стоящие в знаменателях поверхностные интегралы в ин­тегралы по контуру. Приведем получающиеся таким образом фор­мулы, вывод которых аналогичен выводу формулы (90,8):

^f|£₂^{|2d/ = ^^(nr)|V}₂^{^|2 dl,}

^{J I H}_z ^{|2 df = ^ § (nr) {x21 Я}₂ ^{p -1 У}₂^Я_г ^{|2} dl.}

Когда£_г-+0 (т. е. частота со-^сх), выражения (91,12—13) стре­мятся к бесконечности. При этом, однако, эти формулы перестают быть применимыми, так как их вывод предполагает малость х по сравнению с k_z.

Формулы (91,12—13) не относятся к главной волне (в волно­воде с многосвязным сечением), в которой равны нулю все ве­личины E_z, H_z и х. В этом случае можно выразить все компо­ненты поля через скалярный потенциал ср. Учитывая взаимную перпендикулярность и равенство по величине полей Н и Е = —V₂<P в главной волне, получим для ее коэффициента поглощения сле­дующее выражение:

5' ф I V₂<P I² dl a = -f • (91,15)

2 J I у₂ф I² df

Распространение главной волны вдоль волновода может быть сравнительно просто рассмотрено и в тех случаях, когда ее ко­эффициент поглощения не мал (так что формула (91,15) непри­менима), если при этом длина волны с/со велика по сравнению с поперечными размерами волновода.

Как было указано выше, поперечное электрическое поле в глав­ной волне (в каждый момент времени) соответствует электроста­тическому полю в конденсаторе, образованном стенками волновода, заряженными равными и противоположными зарядами. Обозначим эти заряды, отнесенные к единице длины волновода, посредством ±e(z). Они связаны с токами ±J(z), текущими по стенкам волновода, уравнением непрерывности

де _ dJ

или, для монохроматического поля,

dJ дг

Пусть, далее, С — емкость единицы длины волновода. «Разность потенциалов» между его стенками ср₂ — ц>₁ = е/С; дифференцируя ее по г, мы получим э.д. с, поддерживающую протекание тока по стенкам (напомним, что при наличии поглощения поле не яв­ляется чисто поперечным). Приравняв его ZJ (Z—импеданс еди­ницы длины волновода), получим

дг с -^/LJ '

или

Подставив сюда Z = R — mLjc² (где R и L — сопротивление и самоиндукция единицы длины волновода), мы можем перейти от монохроматических компонент тока обратно к произвольной функ­ции времени. Предполагая также емкость С постоянной вдоль длины волновода, получим так называемое телеграфное уравнение:

±дЧ_ _Rd£_±_d4_₀ ,_q]

С дг² * dt с² dt² ~ ■ yv^ll)

В отсутствие поглощения (R = Q) это уравнение, как и должно быть, сводится к волновому уравнению со скоростью распростра­нения волн, равной c/'y^rLC = c. Равенство LC= 1 следует из ма­тематической эквивалентности задач об определении 1/С и L при заданной форме контуров. Электрическое и магнитное поля меж­ду поверхностями идеальных проводников перпендикулярны по направлению и равны по величине (см. (91,11)), причем значение последней на самих поверхностях определяет в первом случае плотность зарядов, а во втором случае—плотность токов. Поэтому совпадают и коэффициенты пропорциональности (1/С и L) между энергией поля и квадратами соответственно заряда или тока.

Задачи

1. Найти значения х для волн, распространяющихся по волноводу прямо­угольного сечения (длины сторон а, Ь). Найти коэффициенты затухания этих волн.

Решение. В /Г-волнах¹)

E_z = const -sin k_xx sin k_yy,

где

k_x = n₁nla, ky = n₂n/b,

a n_b n₃ — целые числа, начиная от единицы. В //-волнах H_z = const • cos k_xx cos kylj,

причем одно из чисел п_ъ п₃ может быть равно нулю. В обоих типах волн

Наименьшее значение х соответствует волне Я_1П (индексы указывают значения ⁿi. ^п2> ^и равно х_т;_п = я/а (полагаем, что а > Ь).

Коэффициенты затухания вычисляются по формулам (91,12—13) и равны: для £-волн

2cog' , _{3 3} ч

для волн Я„,₀

СОц

2х²

ck_zab

и для волн #„,„, п₂ # 0) 2сх²£'

со/?,а6

2. То же для волновода кругового сечения (радиуса а). Решение. Решая волновое уравнение в полярных координатах г, ср, получим в £-волнах

sin

E_z = const -J_n (xr) mp, cos

с условием /„(xa) = 0, определяющим значения x. В Я-волнах такая же фор­мула дает Я_г, а значения х определяются условием J' (ш) — 0. Наименьшим значением х обладает первая из волн Я,; оно равно x_min — 1,84/а.

Коэффициент затухания вычисляется по формулам (91,12—14) и равен для £-волн

cafe.

а для Я-волн

_cx²g' u>k,a

1 +

с²*² (а²х² —п²)

■) Множитель ехр {i (й_гг — со^)} везде опускаем.