§ 95. Дифракция на плоском экране

Точная формула (94,2) для дифракции на клине может быть приведена к сравнительно простому виду в частном случае ди­фракции на полуплоскости (чему соответствует у = 2л). Именно, комплексный интеграл в (94,2) может быть сведен к интегралу Френеля:

v{r, г|з) = -4= е-' <А'«к*+я/4) fe'Vdri, (95,1)

V^я J

— со

w = y 2kr cos

Эта формула справедлива при любых значениях г и г|з. При /гг^>1 и углах |ф—л\^> \/Vkr пригодно асимптотическое вы­ражение

v (г, -ф)= —_е«(Аг+я/4)— (95 2)

(формула (94,4) с у = 2л).

С помощью формулы (95,2) может быть получено в замкну­том виде решение задачи о дифракции на плоском идеально про­водящем экране любой формы. При этом предполагается лишь, что размеры экранов и расстояния до них велики по сравнению с длиной волны, а углы дифракции не слишком малы (причем эта область перекрывается с областью малых углов, в которой применимы обычные формулы дифракции Френеля). Результат выражается в виде интеграла по контуру края экрана, анало­гично тому, как в обычной приближенной теории дифракционное поле выражается в виде интеграла по поверхности, закрывающей отверстие в экране. Мы не станем останавливаться здесь на этих вычислениях.

В точной теории дифракции на плоских идеально проводящих экранах можно высказать теорему (принадлежащую Л. И. Ман­дельштаму и М. А. Леонтовшу), в известном смысле аналогич­ную теореме Бабинэ в приближенной теории дифракции.

Рассмотрим плоский экран с отверстием произвольной формы; выберем плоскость экрана в качестве плоскости г = 0, и пусть электромагнитная волна падает со стороны г < 0. Пусть Е₀, Н₀ — суммарное поле падающей волны и волны, отраженной от экрана (так, как если бы отверстие отсутствовало); будем пред­ставлять его продолженным по другую сторону от экрана (г > 0). Поскольку Я_г = 0, Е/ = 0 при г = 0 (в силу граничных условий на идеально проводящей поверхности), то значения Е₀, Н„ при г > 0 и г < 0 будут связаны соотношениями E_oz(x, у, z) = E_oz(x, у, —z), E_ot(x, у, z) = — E_ot(x, у, — г),

(95,3)

H_az(x, у, г)=— H_oz(x, у, — г), ¥l_ot(x, у, z) = H_ot (х, у, —г).

Пусть, далее, Е', Н' —поле, которое получилось бы при по­мещении в поле Е₀, Н₀ плоской пластинки, по форме, вели­чине и положению совпадающей с отверстием в экране и обла­дающей магнитной проницаемостью ц,= со. Тогда решение дифракционной задачи на отверстие в экране дается выражениями

Е = У₂(Е₀ + Е'), H = V₂(H₀ + H') приг<0,

(95,4)

Е = У₂(Е₀-Е'), Н = 7₂(Н₀-Н') приг>0.

Для доказательства этого утверждения замечаем, что поле Е\ Н' обладает той же симметрией (выражаемой формулами (95,3)), что и поле Е₀, Н₀. Поэтому на плоскости г = 0 оно удов­летворяет условиям

E'_t = 0, #2 = 0 вне отверстия,

E'_tl = — E'_t2, Н'_л —- — #_г2 на отверстии

(индексы 1 и 2 соответствуют г—>-±0). Кроме того, оно удов­летворяет условиям

E'_z—0, Н/ = 0 на отверстии,

так как граничные условия на поверхности тела с р, = со обратны (в смысле замены Е, Н на Н, Е) условиям на идеально про­водящей (е = со) поверхности. Отсюда ясно, что поле (95,4) удов­летворяет необходимым условиям E_t = 0, #_z = 0 на поверхности экрана (г —>- — 0) вне отверстия и непрерывно на отверстии. На­конец, поскольку поле Е', Н' стремится на бесконечности к Е₀, Н₀, то поле (95,4) стремится к Е₀, Н₀ при г—^ — со и к нулю при г—> + оо. Тем самым оно удовлетворяет всем условиям по­ставленной дифракционной задачи, и теорема доказана.

Таким образом, задача о дифракции на отверстии в экране с е = со эквивалентна задаче о дифракции на дополнительном экране с р, = со.

Задачи

1. Плоская монохроматическая волна падает нормально на прорезанную в идеально проводящем плоском экране щель ширины 2а, большой по сравне­нию с длиной волны. Определить распределение интенсивности света за щелью на больших расстояниях от нее для больших углов дифракции.

Решение. При а ^> X дифракционное поле за щелью можно рассматри­вать как наложение полей, происходящих от независимой дифракции на каж­дом из двух краев щели и определяющихся с помощью асимптотической фор­

мулы (95,2) ^х). Когда расстояния АР = г_х и ВР = г₂ от краев щели до точки наблюдения (рис. 50) велики по сравнению с а, в множителях e^ikri и е'*^г» пишем:

*\= г—a sin х, r₂ = r-\-as\n%;

во всех же других местах полагаем r_x хг₂хг, а все углы между АР, ОР, BP и осью 2 — равными одному и тому же углу дифракции %. В результате получаем

_ei(kr+n/i) [sin(ka s',n %) . cos(£asinx)

V 2nkr

L ^sin (X/2)

cos (x/2)

Отсюда интенсивность света, дифрагировавшего в интервал углов d% (отнесен­ная к полной интенсивности падающего на щель света):

2ak cos

_1_ /rs:n(afesinx) "I² ["cos (ak sin %) I²) inak\l Sirt(_x/2) J cos (x/2) J J ^X

_ak f ["sin (ak sin x) 1² ,

~~ я \ L ak sin x J ^{C S} ^

При малых x это выражение переходит в формулу для дифракции Фраунго-фера на щели:

1 sin² (akY) ,

dl--

2. Плоская волна падает на идеально проводящую плоскость с круглым отверстием радиуса а, малого по сравнению с длиной волны. Определить ин­тенсивность дифрагированного света, прошедшего через отверстие (Rayleigh, 1897).

Решение. Согласно изложен­ному в тексте, данная задача приво­дится к задаче о дифракции на круг­лой пластинке с [х=оо, а поскольку а <^г X, то мы имеем дело с рассеяни­ем на малой частице. Согласно § 92, для решения задачи о таком рассея­нии надо определить статические электрическую и магнитную поляри­зуемости диска. Поле Е₀ перпендику­лярно к плоскости диска, а гранич­ное условие Е'₂=0 формально совпа­дает с условием, которое имело бы место в электростатике на поверхнос­ти тела с е=0. Поле же Н₀ парал­лельно диску, а граничное условие

Н_;' = 0 соответствует магнитостатической задаче с [х=оо. Поэтому электричес­кий и магнитный моменты'диска (см. задачу 4 § 4 и задачу к § 54):

5>=

2а³ " Зя

4а³

При переходе к задаче о дифракции на отверстии эти выражения надо умно жить, в соответствии с формулами (95,4), на ¹/₃ и затем подставить в формулу рассеяния (92,1).

') Это предположение становится, однако, несправедливым зри углах дифракции, достаточно близких к я/2 (при я/2 — Х^^/Ука).

Таким образом, интенсивность дифрагированного излучения в телесном угле do^х)

' 4я 9я²с^{4 1}

с со⁴а^{6 =} 4л~9я²с⁴

с ш⁴а°

^d/=7T 5^274 {[пЕ₀] -2 [n[H₀n]]}= do=

{[nE₀]² + 4[nH₀]² + 4n[H₀E₀]}do.

Полная интенсивность дифракции получается интегрированием по полусфере и равна

ш⁴а⁶

⁷ = 27яЬ(^£о + 4//²).

Сечение дифракции определим как отношение интенсивности дифрагированного излучения к плотности потока энергии в падающей волне (с£²/4я; буквы без индекса относятся к полю падающей волны). Различаем два случая поляриза­ции падающей волны:

а) вектор Е в падающей волне перпендикулярен к плоскости падения (плоскости xz), т. е. параллелен плоскости экрана (плоскость ху). Сумма по­лей падающей п отраженной волн у поверхности экрана

£₀ = 0, //_O._c = 2//cosa=2£'cosa (a—угол падения). Отсюда

da=^2~r ^{cos2 a} (1 — ^siⁿ² ^ ^cos2 ф) ^о.

Здесь т>— угол между направлением дифракции п и нормалью к экрану (ось г), а ф — азимут вектора п по отношению к плоскости падения. Полное сечение

64а⁶ш⁴ „ a—-zr=—г cos •'а. 27яс⁴

Е₀ = Е_ог = — 2£sina, Н₀ = Н_оу = 2Н = 2£V

^{б) Вектор Е в плоскости падения. Тогда Е}₀ ^{— Е}_ог ⁼

Дифференциальное сечение.

^{do=-^^- j cos2 т) 4-sin2 т) ^соз2ф+-^- sin2aj —sin r>sin асозф| do..}

^a_=i^l¹_+T^sin2a_)-

^{полное сечение}

64а⁶ш⁴

Для естественного света имеем

64а⁶со⁴ °~ 27яс⁴

3 . „ \ . —-g- sin-a j.

^х) Множители e~^iat предполагаем опущенными, так что Е и Н вещест­венны.