Возможные миры в логической семантике

Логика устанавливает и описывает отношения между формулами, отображающими логическую форму предло­жений обычного языка. И возможные миры берутся в логической семантике не как множества всевозможных конкретных предложений и их отрицаний, но как множе­ства пропозициональных переменных и их отрицаний, называемых обычно литералами.

Пропозициональные переменные, обозначаемые обыч­но с помощью букв р, q, г, s, возможно с числовыми или иными индексами, что делает их число бесконечным и при необходимости позволяет иметь алфавитно-упорядо- ченный список всех литералов.

Областью значений пропозициональных переменных являются конкретные высказывания. В логике кванторов (исчислении предикатов) используют индивидные пере­менные (и константы), областью значения которых явля­ются объекты (термины), о свойствах которых в рамках используемого в логике языка могут строиться утвержде­ния, а также переменные и, возможно, константы для предикатов. Любая логическая формула превращается в некоторое высказывание, если на место всех соответству­ющих переменных поставить соответствующие объекты или связать все переменные кванторами, а логические связки понимать как соответствующие выражения есте­ственного языка. Для построения семантики некоторой логической теории задаются условия истинности формул ее языка в возможных мирах.

Логическая формула считается семантически истин­ной, если при любых значениях ее переменных она вери­фицируется во всех возможных мирах. Тот факт, что число возможных миров являются бесконечным, обычно не препятствует их обзору. Выручает то обстоятельство, что содержание высказываний, в соответствие которым ставятся формулы никак не влияет на конечный резуль­тат. К какому бы возможному миру мы не обращались, важно только, каково в нем истинностное значение этих высказываний. Поэтому достаточно рассмотреть те и толь­ко те возможные миры, которые позволяют осуществить перебор всех вариантов подстановок. В случае пропози­циональной логики достаточно рассмотреть те миры, ко­торые охватывают все варианты приписывания истинно­

стных значений различным пропозициональным пере­менным. Технически это то же самое, что приписать переменным, как это делают истинностные таблицы, все возможные наборы истинностных значений из области {истина, ложь).

В дальнейшем под возможным миром будем понимать любое алфавитно-упорядоченное множество неповторяю­щихся литералов <а_п а_р..., а> (п> 1). Отдельный воз­можный мир мы будем обозначать с помощью буквы w с некоторыми индексами. Все множество возможных миров обозначим как W. Таким образом, W есть бесконечное алфавитно-упорядоченное множество <w_p w₂,...>, где каждое w, есть некоторый возможный мир. При этом мы будем говорить о классическом понимании возможных миров (или в карнаповской терминологии — о класси­ческом описании состояний), если только для всякого возможного мира w_y из W выполняются два следующих требования:

(С1) Ни в каком мире w. никакая пропозициональная переменная а не встречается одновременно со своим от­рицанием 5а (Условие непротиворечивости).

(С2) Во всяком мире w, любая пропозициональная переменная а встречается либо сама, либо с отрицанием 5а (Условие полноты).

Чтобы получить семантику исчислений классической пропозициональной логики, достаточно теперь задать обычные условия истинности пропозициональных фор­мул с конъюнкцией, дизъюнкцией, материальной импли­кацией и отрицанием.

Вообще семантику классической пропозициональной логики можно построить без использования понятия воз­можного мира, так как роль множества таких миров могут с успехом сыграть истинностные таблицы, с помощью которых различным переменным можно приписать все­возможные наборы истинностных значений.

Однако такого рода замена возможных миров таблица­ми осуществима только в случае, когда логические связки являются истинностно-функциональными, то есть, когда истинностное значение некоторого сложного высказыва­ния однозначным образом определяется в зависимости от истинностных значений его составляющих. Если же язык логики обогащается связками, которые, как это свой­

ственно естественному языку, не являются истинностно­функциональными и значения высказываний с которыми зависят не только от истинностных характеристик состав­ляющих, но и от некоторых других причин, то тогда использование возможных миров становится принципи­альным.

Собственно семантика возможных миров получила раз­витие признание и стала попросту необходимой в конце 50-х годов, когда с ее помощью удалось построить адек­ватные семантики многочисленных к тому времени мо­дальных логических исчислений⁶⁰⁸. Основной их особен­ностью является то, что на множестве всех возможных миров задается некоторое (как правило, бинарное) отно­шение (relation) достижимости. Миры перестают быть безотносительными к друг другу. Отсюда происходит на­звание таких семантик как реляционных.

Утверждение о достижимости мира из мира w, будем записывать как wfiwj. И при верности такого утвер­ждения будем говорить, что мир возможен относитель­но мира w.. Допустим у нас есть высказывание А. Пусть в мире >v. оно истинно. Тогда, естественно, предложение МА (Возможно, что А) в этом мире также истинно. А ка­ким будет это же предложение МА в мире w, в случае, когда высказывание А в этом мире ложно? Однозначного ответа здесь нет. Оно может быть как истинным, так и ложным. Оператор возможности М не является истинно- стно-функциональным. Все зависит от того, что представ­ляет собой А. В реляционной семантике МА считается истинным в некотором мире w., если и только если среди достижимых из w. миров найдется такой мир w., в котором А истинно. И если мы постулируем истинность МА в некотором возможном мире w_y, то заявляем тем самым, что среди достижимых из w. есть такие, в которых А верифицируется, т. е. считается истинным.

Предложение NA (Необходимо, что А) в некотором мире w, будет истинным, если и только если оно истинно в каждом мире w. достижимом из w_r В этом случае посту­лирование истинности NA в w. обязывает признавать дос­тижимыми из w. только те миры, в которых А истинно.

Класс формул с операторами возможности М и необ­ходимости N, которые окажутся общезначимыми (истин­ными во всех возможных мирах) в такой семантике, будет зависеть от свойств отношения R. В частности от того, является ли это отношение рефлексивным, симмет­ричным’, транзитивным. В зависимости от этого семанти­ка даст описание логических принципов, формализуе­мых той или иной из ряда известных логических теорий модальностей.

Пусть А и В — классические пропозициональные фор­мулы. Если считать В следствием из А на том основании, что во всех мирах, где истинно А, таковым является В, мы будем иметь дело с классическим пониманием следова­ния. Это понимание приведет нас к признанию, что любое произвольно взятое В есть следствие противоречи­вого А. Причина понятна: ни в каком мире такое А нельзя верифицировать (приписать значение «истинно»), в ре­зультате чего условие следования автоматически выпол­няется для любого В. При общезначимом (истинном во всех возможных мирах) В последнее (в силу невозможно­сти ни в каком мире его фальсифицировать) следует из любого А. Именно в этом смысле классическое следова­ние и классическую логику называют парадоксальными.

Логику, в которой стремятся избежать такого положе­ния принято называть релевантной. Чтобы построить се­мантику такой логики, достаточно отказаться от условий непротиворечивости и полноты возможных миров (смот­ри выше: условия С1 и С2). При таком отказе никакая классическая формула уже не может ни верифицировать­ся, ни фальсифицироваться во всех мирах. Возникает, правда, одно неудобство, связанное с импликацией. Ка­залось бы формула вида Az>A, утверждающая, что А влечет А, должна быть истинной во всех мирах, и соответственно ее отрицание во всех мира должно быть ложным. Но тогда Az>A, как и раньше придется считать следствием из любой формулы, и любую формулу следствием из всегда ложного ее отрицания -*(Az>A).

Выход находят в том, что импликацию или вообще выбрасывают из языка классической логики, оставляя только конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, или, что в общем то же самое, рассматривают Az>B просто как сокращение для -nAvB (не-Л-или-Д).

Когда логическое исчисление использует в языке толь­ко материальную импликацию, определимую через дру­гие принятые связки, с таким положением можно ми­риться. Но если вы ставите задачу адекватного описания той импликации, которая используется в естественных рассуждениях и не сводится к другим языковым связкам, то указанная ситуация становится тупиковой. По сути дела мы имеем здесь дело не с решением проблемы, а с уходом от нее. Мы строим семантику, в которой утверж­дения о следовании либо вообще не относятся к объект­ному языку теории, либо в таком языке принимаются только так называемые первопорядковые утверждения о следовании, не допускающие итерации импликации. Иными словами, язык теории не может включать выраже­ний вроде закона контрапозиции у4->2?-к-.Я-»-и4, закона транзитивности импликации А->В-*.В-*С->.А->С и любых других, содержащих импликации импликаций.