7.2. Качка судна на тихой воде

7.2.1. Качка судна без сопротивления

Наиболее простым видом качки являются малые колебания судна на спокойной воде после того, как оно выведено из состояния равновесия и затем предоставлено самому себе. Возникающие при этом колебания называются свободными или собственными колебаниями. Важность изучения свободных колебаний состоит в том, что они полностью определяют динамические свойства суд­на как колебательной системы и ввиду этого играют первостепенную роль при исследовании качки судна на волнении.

Имея в виду получить простейшие уравнения отдельных видов качки, сделаем следующие допущения:

• отклонения судна от положения равновесия малы, так что в их пределах площадь ватерлинии можно считать неизменной, а восстанавливающие моменты определять метацентрическими формулами остойчивости;

• центры тяжести судна и площади ватерлинии располагаются на одной вертикали;

• главные центральные оси инерции масс судна горизонтальны.

П

Рисунок 7.1. – К выводу уравнения вертикальной качки.

редположим, что судно, плававшее в состоянии равновесия, погружено дополнительно на малую величину и затем отпущено. Тогда, кроме ранее уравновешенных сил веса и поддержания , на него будет действовать избыточная сила поддержания, равная весу воды в объеме дополнительно вошедшего в воду слоя, т. е. (рис.7.1), где — площадь ватерлинии.

Эта сила будет направлена вверх и действовать вдоль вертикали, проходящей через центр тяжести площади ватерлинии. Силу сопротивления качке пока учитывать не будем.

В соответствии с принципом Даламбера для получения уравнения движения необходимо к действующим силам добавить силы инерции, которые складываются из сил инерции массы судна и увлекаемых им масс воды (присоединенная масса).

В результате получим следующее дифференциальное уравнение вертикальной качки:

. (7.1)

Поделив на коэффициент при первом члене и обозначив

, (7.2)

запишем уравнение (7.1) в виде

. (7.3)

Предположим теперь, что судно наклонено из положения равновесия на малый угол и опять предоставлено самому себе. В этом случае на судно будет действовать восстанавливающий момент . Добавляя момент сил инерции масс судна и увлекаемых масс воды, получим дифференциальное уравнение бортовой качки

, (7.4)

где – момент инерции масс судна относительно продольной центральной оси;

– момент инерции масс воды, увлекаемых судном, относительно той же оси.

Обозначив

, (7.5)

запишем уравнение (7.4) в виде

. (7.6)

По аналогии с предыдущим получается дифференциальное уравнение килевой качки

. (7.7)

где – момент инерции масс судна относительно поперечной центральной оси;

– момент инерции увлекаемых масс воды относительно той же оси.

Обозначив

, (7.8)

уравнение (7.7) запишем в виде

. (7.9)

Таким образом, все три вида качки судна на тихой воде описываются неполными линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка одного и того же вида:

, (7.10)

где под подразумевается или . Общее решение этого уравнения есть:

, (7.11)

или в другой записи:

, (7.12)

где – амплитуда качки; – начальная фаза.

Произвольные постоянные и (или и ) определяются начальными условиями. Пусть, например, в начальный момент судно отклонено от положения равновесия на и предоставлено самому себе без начальной скорости, т. е., , тогда найдем ; ; , и качка будет совершаться по закону .

Таким образом, любой вид качки судна на тихой воде при отсутствии сопротивления представляет собой гармоническое колебание с амплитудой, определяемой начальными условиями и частотой , которая для соответствующих видов качки выражается формулами (7.2), (7.5) и (7.8).

Период колебаний связан с частотой известной зависимостью

(7.13)

и для каждого вида качки выражается следующими формулами:

период вертикальной качки

; (7.14)

период бортовой качки

; (7.15)

период килевой качки

. (7.16)

Частоты и периоды качки на тихой воде называются собственными частотами и собственными периодами качки судна.

Из выражений (7.14)–(7.16) видно, что в процессе эксплуатации судна существенное влияние можно оказывать только на период бортовой качки. Для обеспечения плавности качки необходимо увеличить ее период. С этой целью стремятся разместить грузы по высоте таким образом, чтобы, удовлетворяя требованиям остойчивости, достичь возможно меньшей метацентрической высоты, а разнося грузы по ширине, увеличить момент инерции масс судна относительно продольной оси. Оба этих приема могут заметно отразиться на плавности бортовой качки. В значительно меньшей степени можно влиять на период продольной качки, изменяя момент инерции масс относительно поперечной оси распределением грузов по длине и соответствующей балластировкой. Здесь, однако, возможность ограничивается условием обес­печения общей продольной прочности судна. Период вертикаль­ной качки при заданной осадке вообще не может быть изменен.