4.6.3. Диаграмма динамической остойчивости

Сравнение площадей на диаграмме статической остойчивости хотя и наглядно, но не дает прямого способа решения задач динамической остойчивости. Для этой цели служит диаграмма динамической остойчивости (рис.4.10), изображающая зависимость работы восстанавливающего момента от угла крена, определяемую формулой:

. (4.7)

Рисунок 4. 10. Диаграмма динамической остойчивости и ее связь со статической

Из (4.7) ясно, что диаграмма динамической остойчивости есть интегральная кривая по отношению к диаграмме статической остойчивости, которая является первообразной кривой и определяется равенством:

. (4.8)

Из сказанного следуют такие свойства диаграммы динамической остойчивости:

1. ордината диаграммы динамической остойчивости при угле , с учетом масштаба, равна площади диаграммы статической остойчивости до этого же угла ;

2. в начале координат и при угле заката диаграмма динамической остойчивости имеет соответственно минимум и максимум (устойчивое и неустойчивое положения равновесия судна);

3. углу максимума диаграммы статической остойчивости соответствует точка перегиба диаграммы динамической остойчивости;

4. диаграмма динамической остойчивости есть четная функция угла крена:

,

и является кривой, симметричной относительно оси ординат.

Если восстанавливающий момент представить в виде , то из (4.7) следует:

, (4.9)

где называется плечом динамической остойчивости.

Чтобы выяснить геометрический смысл плеча динамической остойчивости вычислим работу, затрачиваемую при наклонении судна, рассматривая не восстанавливающий момент, а действующие силы.

На судно действуют две силы: сила тяжести , приложенная в центре тяжести , и сила поддержания , приложенная в центре величины . Обе силы вертикальны, поэтому их работа не зависит от пути перемещения, а лишь от вертикального смещения точек их приложения. Но, вследствие равенства сил по величине и противоположного направления, их суммарная работа отлична от нуля только при различном вертикальном смещении точек и и равна произведению силы на разность этих смещений, т.е. на изменение вертикального расстояния между этими точками:

,

где - вертикальное расстояние между точками и при угле крена ;

- расстояние между теми же точками в прямом положении судна.

Из сопоставления полученного выражения работы с формулой (4.9) следует:

,

т.е. плечо динамической остойчивости есть изменение вертикального расстояния между центром тяжести и центром величины судна при его наклонении.

На полярной диаграмме (рис.4.2) величина изображается отрезком , поэтому, откладывая от точки отрезок , получим плечо динамической остойчивости как расстояние от конца отрезка (точки ) до центра величины .

4.6.4. Решение основных задач по диаграмме динамической остойчивости

Рассмотрим две основные задачи динамической остойчивости: определение динамического угла крена при действии заданного момента и определение наибольшего динамического момента, выдерживаемого судном.

Допустим, что на судно динамически подействовал кренящий момент постоянной величины . Его работа выражается линейной зависимостью и изображается прямой, исходящей из начала координат. Для ее построения проще всего взять на оси абсцисс угол, равный 1 радиану, т.е. 57,3°, и по вертикали отложить отрезок, равный в масштабе оси ординат работе, которая при этом угле численно равна кренящему моменту . Тогда прямая, проходящая через начало координат и верхний конец отрезка , изобразит зависимость работы кренящего момента от угла . Точка пересечения этой прямой с диаграммой динамической остойчивости определит динамический угол крена как угол, соответствующий равенству работ кренящего и восстанавливающего моментов (рис.4.11).

Рисунок 4. 11. Решение основных задач по диаграмме динамической остойчивости

Для определения наибольшего динамически приложенного момента, который судно выдержит не опрокидываясь, заметим, что, увеличивая кренящий момент, мы будем получать все более крутые прямые, изображающие его работу, и соответственно будут увеличиваться динамические углы крена. Очевидно, что наиболее крутой прямой, имеющей общую точку с кривой динамической остойчивости, будет касательная к этой кривой, которая и определит искомое значение как ординату касательной, измеренную при угле 1 радиан = 57,3°. При этом абсцисса точки касания определит наибольший динамический угол крена (рис.4.11).