7.3.6. Качка на нерегулярном волнении
Представление нерегулярного волнения как суммы гармоник с различными частотами и амплитудами позволяет получить выражение, описывающее качку на этом волнении. Действительно, подставим в правую часть уравнения (7.38) сумму гармоник, представляющих волнение, и найдем для каждой из них решение вида (7.42). Сумма этих решений и даст искомое выражение, которое определит всю картину движения судна на волнении.
Однако с практической точки зрения важнее установить такие параметры качки, как наибольшее вероятное наклонение судна в заданный период времени или суммарная продолжительность времени, в течение которого судно имеет наклонения, превышающие заданный угол, и другие подобные оценки. На такого рода вопросы ответы даст рассмотрение качки судна на нерегулярном волнении как случайного процесса и описание его законами распределения и числовыми характеристиками этих законов.
Пользуясь принятой
терминологией, будем называть волнение
входным процессом, судно – динамической
системой, а его качку – выходным
процессом. Уравнение (7.38), определяющее
качку судна, есть линейное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами.
Динамическая система, колебания которой
описываются таким уравнением, называется
стационарной линейной системой. Если
на такую систему действует случайное
возмущение, являющееся нормальным
стационарным процессом, то выходной
процесс будет также нормальным и
стационарным. Таким образом, качка судна
есть нормальный стационарный процесс,
и для ее изучения применимы те же методы,
которые использовались при рассмотрении
нерегулярного волнения. В частности,
если наклонения судна при качке
отсчитывать от среднего положения, то
они будут распределены по закону Гаусса,
а амплитуды качки – по закону Рэлея, и
эти законы будут определяться только
через дисперсию углов качки
.
Рассмотрим на примере бортовой качки сначала простейший случай, когда судно не имеет хода и расположено на двухмерном нерегулярном волнении.
Формулы (7.39) и
(7.42) устанавливают линейную зависимость
между амплитудой качки
и амплитудой гармоники волны
,
причем коэффициент пропорциональности
зависит от частоты волны
и согласно формулам (7.39) и (7.43) равен
, (7.71)
так что
. (7.72)
Выражение
в теории случайных процессов носит
название передаточной функции.
Передаточная
функция
может быть также определена экспериментально,
путем испытания качки модели судна в
опытовом бассейне на волнах разной
частоты, создаваемых специальным
устройством, называемым волнопродуктором.
Измеряя каждый раз амплитуду волны
заданной
частоты
и амплитуду качки модели
на этой волне,
значение передаточной функции получим
из выражения
.
Повторяя испытания при разных частотах
по найденным точкам строят график
передаточной функции.
Знание передаточной функции позволяет легко рассчитывать спектральную плотность качки. Действительно, ординаты спектральной плотности волнения пропорциональны квадратам амплитуд гармоник, составляющих нерегулярное волнение, следовательно, в соответствии с формулой (7.69) для спектральной плотности качки получим
, (7.73)
или, принимая во внимание выражение (7.71),
, (7.74)
т. е. ординаты спектральной плотности качки получаются путем умножения ординат спектральной плотности волнения на квадрат передаточной функции.
Эта формула есть выражение общей теоремы Хинчина о преобразовании входного процесса стационарной линейной системой. Из формулы (7.72) находим дисперсию углов качки
(7.75)
и среднее квадратическое отклонение (или стандарт)
. (7.76)
Аналогично определяются дисперсии и стандарты угловых скоростей
(7.77)
и угловых ускорений
. (7.78)
В более
сложном случае хода судна со скоростью
под
курсовым углом
к
волнению воздействие волн на судно
будет происходить с кажущейся частотой
,
причем для трехмерного волнения
,
где
– курсовой угол к генеральному направлению
волнения. В этом случае в коэффициенте
динамичности, входящем в передаточную
функцию, истинная частота должна быть
заменена на кажущуюся, так что при
наличии хода спектр качки представится
выражением
. (7.79)
Площадь
спектра
определит дисперсию углов качки
однако в этом случае сама зависимость
не будет представлять распределение
энергии качки по частотам, в связи с чем
ее называют псевдоспектром качки.
В
случае хода судна вместо волнового
спектра, дающего распределение полной
энергии волн по их частотам, рациональнее
рассматривать спектр волнового
воздействия на судно, представляющий
распределение по кажущимся частотам
части энергии волн, передаваемой судну,
т. е. энергии, рассчитанной по эффективным
амплитудам волн, учитывающим через
редукционный коэффициент
соотношение
размеров судна и волн, а также их курсовой
угол.
Для бортовой качки энергия волнового воздействия элементарной гармоники пропорциональна величине
,
полный
же спектр найдется интегрированием по
частоте и углу
.
Способы расчета таких спектров для
двухмерного и трехмерного волнения
разработаны С. П. Сюрко. На рис. 7.19 и 7.20
представлены рассчитанные им спектры
волнового воздействия для контейнеровоза
типа «Герои панфиловцы».
Передаточной функцией для спектра волнового воздействия служит коэффициент динамичности , выраженный через кажущуюся частоту, и спектр качки рассчитывается по формуле
. (7.80)
О
чевидно,
что наиболее интенсивная качка будет
наблюдаться при близости максимумов
спектра
и коэффициента динамичности.
Дисперсия
углов качки определится площадью спектра
,
а дисперсии угловых скоростей и ускорений
– площадями спектров с ординатами
и
соответственно.
Найденные дис-персии или стандарты полностью определяют вероятностные харак-теристики качки судна на заданном нерегулярном волнении.
Рассмотрим
некоторые из таких характеристик
следующих из закона Гаусса
распределения
углов наклонения и закона Рэлея
распределения амплитуд качки, которые
выражаются формулами (7.52) и (7.59) с заменой
в них дисперсии ординат волнения
на
дисперсию углов качки
.
а
)
Наивероятней-шая амплитуда качки,
соответствующая максимуму
,
. (7.81)
ее обеспеченность составляет 60,6%.
б) Средняя амплитуда качки (математическое ожидание амплитуды)
,
(7.82)
ее обеспеченность составляет 45,6%.
в)
Амплитуда произвольной обеспеченности
, (7.83)
где принимается по табл. 7.3 или по формуле (7.62).
г)
Обеспеченность амплитуды заданной
величины
(вероятность превышения
)
. (7.84)
д) Средняя частота и средний период качки
. (7.85)
е) Число наклонений судна (полупериодов) за время плавания на волнении заданной интенсивности в неизменных условиях
. (7.86)
ж) Число наклонений судна за то же время, превышающих ,
. (7.87)
з)
Общая продолжительность пребывания
судна с наклонением
. (7.88)
и) Средняя продолжительность непрерывного пребывания судна при
, (7.89)
где обозначено
. (7.90)
График этой функции представлен на рис. 7.21.
к) Обеспеченность наибольшей из вероятностных амплитуд за время
, (7.91)
откуда
. (7.92)
М
ы
рассмотрели бортовую качку судна и
получили ее вероятност-ные характеристики.
Совершенно аналогично определяются
характе-ристики двух других основных
видов качки – вертикальной и килевой,
однако при этом входящие в передаточную
функцию величины
,
и
должны быть заменены одноименными
величинами для соответствующего вида
качки, т. е.
,
и
– для вертикальной и
,
и
– для килевой.
Заметим также, что, поскольку спектр волнового воздействия зависит от редукционного коэффициента , для каждого вида качки этот спектр должен вычисляться отдельно.