7.2.3. Влияние сил сопротивления.

Рассмотрим влияние на качку силы сопротивления, относительно которой предположим, что она пропорциональна первой степени скорости.

Добавляя в уравнения (7.1), (7.4) и (7.7) слагаемые, выражающие силы сопротивления в виде ; и , где обозначает коэффициент сопротивления соответствующего вида качки, получим дифференциальные уравнения, которые после деления на коэффициенты при первых членах будут иметь вид

, (7.20)

где через обозначен коэффициент затухания (гашения), который для разных видов качки определяется выражениями:

(7.21)

Так как во всех обычных случаях < , то общее решение уравнения (7.20) будет

, (7.22)

и если взять те же начальные условия, что и ранее: при , то для произвольных постоянных получим: .

Если же решение представить в виде

, (7.23)

т

Рисунок 7.2. - Затухание свободных колебаний судна

о для постоянных и найдем .

Характер колебаний в этом случае представлен на рис. 7.2.

Из выражения (7.23) и рис. 7.2 видно, что вследствие сопротивления амплитуда качки будет убывать, частота несколько уменьшится, а период соответственно возрастет и определится выражением

, (7.24)

где – относительный коэффициент затухания.

Быстрота уменьшения амплитуд характеризуется фактором затухания , представляющим отношение двух их смежных значений. Из выражения (7.23) находим .

Натуральный логарифм этой величины называется логарифмическим декрементом . Этой величиной пользуются для опытного определения коэффициента затухания по записи качаний судна или его модели. Чтобы количественно оценить влияние сопротивления, рассмотрим численный пример.

Эксперименты показывают, что для всех видов качки относительный коэффициент затухания обычно не превышает значения 0,2. Принимая это значение для , получим, что период качки с учетом сопротивления

;

логарифмический декремент

;

фактор затухания

.

Из приведенного примера видно, что даже при сильном затухании, когда каждая последующая амплитуда в 1,9 раза меньше предыдущей, силы сопротивления незначительно влияют на частоту и период качки.

Только в исключительном случае для малоостойчивого судна влияние сопротивления на период качки может быть существенным. Если же остойчивость настолько мала, что окажется < , то судно не будет совершать колебаний, а отклоненное от положения равновесия будет асимптотически приближаться к нему.

В обычных же случаях при расчете собственных периодов качки можно пользоваться формулами (7.14)–(7.16), полученными без учета сил сопротивления.

7.2.4. Замечания к упрощенной теории качки.

Сформулированные в начале параграфа допущения позволили получить простые выражения для параметров, характеризующих собственные колебания судна. Кратко отметим, какие изменения произойдут в характере качки на тихой воде, если указанные допущения не будут выполняться.

Если амплитуда качки значительна, что относится главным образом к бортовой качке, то в уравнении (7.4) восстанавливающий момент нельзя выражать метацентрической формулой остойчивости, а необходимо использовать зависимость, определяемую диаграммой статической остойчивости. При этом уравнение качки будет нелинейным и нарушается свойство изохронности, т. е. независимости периода качки от амплитуды.

Для определения периода при любой амплитуде можно пользоваться следующей приближенной формулой, которая дает точность, вполне достаточную для практических целей:

, (7.25)

где – период малых колебаний, определяемый по формуле (7.15); – безразмерные (в долях метацентрической высоты) плечи статической и динамической остойчивости, соответствующие амплитуде качки .

Из выражения (7.25) видно, что если диаграмма статической остойчивости располагается под касательной к ней при , то период при любой амплитуде больше ; в противоположном случае – на некотором начальном диапазоне амплитуд он будет меньше .

При линейной зависимости формула (7.25) дает . Если не выполнено второе из допущений, т. е. центры тяжести (ЦТ) площади ватерлинии и масс судна не лежат на одной вертикали, то при вертикальной качке силы инерции и избыточной плавучести образуют пару сил с моментом в диаметральной плоскости, который вызовет килевую качку. В этом случае чистая вертикальная качка, как и чистая килевая, существовать не могут: при любых начальных условиях они всегда будут сопровождать друг друга.

Нарушение третьего допущения о горизонтальности продольной главной оси инерции масс судна может быть существенным, например, при ходе судна с большим дифферентом, что характерно для судов с кормовым расположением машинного отделения в состоянии порожнем. В этом случае бортовая качка даже на тихой воде будет сопровождаться рысканием. При этом угловые ускорения рыскания и бортовой качки связаны зависимостью , где и – центробежный момент инерции относительно осей X и Z и момент инерции относительно оси Z колеблющихся масс.